Integrale doppio

[Fab527]

"Calcolare l'integrale $ int int_(A)sqrt(xy)/(x^2+y^2) dx dy $ dove $ A={(x,y)inR^2:(x-1)^2+(y-1)^2<=1} $ "

Sono passato in coordinate polari $ x=rho*cos(theta) $ , $ y=rho*sin(theta) $ , con $ 0<=theta<=2pi $ e $ 0<=rho<=2 $ , trattandosi il dominio del cerchio centrato in $ (1,1) $ di raggio unitario.

$ int_(0)^(2pi)d theta int_(0)^(2) sqrt(rho^2cos(theta)sin(theta))/rho^2 *rho*drho $
da cui
$ int_(0)^(2pi)d theta int_(0)^(2) sqrt(cos(theta)sin(theta))*drho $
poi
$ 2int_(0)^(2pi)d theta sqrt(cos(theta)sin(theta)) $
infine
$ 1/2int_(0)^(2pi)d theta sqrt(sin(2theta) $

Ho commesso errori? Non riesco più ad andare avanti con questa integrazione che mi è venuta...

[21zuclo]

mi spieghi come hai fatto a trovare $ 0\leq \rho \leq 2 $

sostituendo queste coordinate $ { ( x=\rho \cos\theta ),( y=\rho\sin\theta ):} $

in $ (x-1)^2+(y-1)^2\leq 1 $
Mi spieghi che calcoli hai fatto?.. e NON centra che sia una circonferenza di centro $ C=((1),(1)) $

semai 2 è il diametro di quel cerchio!..

[Fab527]

mi spieghi come hai fatto a trovare $ 0\leq \rho \leq 2 $

sostituendo queste coordinate $ { ( x=\rho \cos\theta ),( y=\rho\sin\theta ):} $

in $ (x-1)^2+(y-1)^2\leq 1 $
Mi spieghi che calcoli hai fatto?.. e NON centra che sia una circonferenza di centro $ C=((1),(1)) $

semai 2 è il diametro di quel cerchio!..

Non ho sostituito nella disequazione ma mi sono fatto una rappresentazione grafica...appunto perchè ha un diametro due la distanza dall'origine dovrà essere compresa tra zero e due...però ora che mi ci fai pensare anche così avrei sbagliato l'angolo, che dovrebbe andare da 0 a pi/2 (il cerchio è nel primo quadrante). È sbagliato ragionare così?

[21zuclo]

Non ho sostituito nella disequazione ma mi sono fatto una rappresentazione grafica...appunto perchè ha un diametro due la distanza dall'origine dovrà essere compresa tra zero e due...però ora che mi ci fai pensare anche così avrei sbagliato l'angolo, che dovrebbe andare da 0 a pi/2 (il cerchio è nel primo quadrante). È sbagliato ragionare così?

è nel primo quadrante, quindi si l'angolo $\theta$ potrebbe essere $\theta \in [0,\pi/2]$

quello che ancora non capisco, dal tuo ragionamento è $\rho \in [0,2]$

è una circonferenza di centro $C=(1,1)^T$

dici la distanza da dove?..

[Fab527]

Non ho sostituito nella disequazione ma mi sono fatto una rappresentazione grafica...appunto perchè ha un diametro due la distanza dall'origine dovrà essere compresa tra zero e due...però ora che mi ci fai pensare anche così avrei sbagliato l'angolo, che dovrebbe andare da 0 a pi/2 (il cerchio è nel primo quadrante). È sbagliato ragionare così?

è nel primo quadrante, quindi si l'angolo $\theta$ potrebbe essere $\theta \in [0,\pi/2]$

quello che ancora non capisco, dal tuo ragionamento è $\rho \in [0,2]$

è una circonferenza di centro $C=(1,1)^T$

dici la distanza da dove?..

Wow credo di aver capito di aver fatto un'ingenuità bella grossa...il punto che ho fissato come origine coincide con l'origine delle coordinate cartesiane (avevo anche provato a sostituire $ x=1+rhocostheta $ e $ y=1+rhosin theta $ ma uscivano calcoli ancora peggiori)...però in pratica limitandola a 2 vado a trascurare che c'è una zona "vuota" che è racchiusa tra il cerchio e i due semiassi positivi e che mi estende l'ampiezza di $ rho $ necessaria.

[21zuclo]

EDIT..era giusto

[Fab527]

Secondo me c'è qualche errore di stampa da qualche parte..o nella funzione integranda oppure nella circonferenza

perché con questo cambio di coordinate $ { ( x=1+\rho\cos\theta ),( y=1+\rho\sin\theta ):} $

peggiora molto la situazione

mentre con questo cambio di coordinate $ { ( x=\rho\cos\theta ),( y=\rho\sin\theta ):} $

qualsiasi siano le coordinate di $\rho$ e $\theta$ ti salta fuori quest'integrale

$ int (\sqrt(\cos\theta \sin\theta)) d\theta =(\sqrt(2))/(2)\int (\sqrt(\sin(2\theta))) d\theta$

che non ha una primitiva elementare..

Sono esercizi dati dal prof quindi è verosimile che magari non abbia controllato dove si andava a finire svolgendo i calcoli.

Per concludere il discorso sulle coordinate, mi confermi quello che ho scritto nel post precedente? In caso a determinare l'intervallo di $ rho $ si arriverebbe soltanto tramite le seguenti

$ (x-1)^2+(y-1)^2<=1 $

$ (rhocostheta-1)^2+(rhosintheta-1)^2<=1 $

$ rho^2cos^2(theta)+1-2rhocostheta+rho^2sin^2(theta)+1-2rhosin(theta)<=1 $

$ rho^2-2rho(costheta+sintheta)+1<=0 $

$ rho_1,_2=(costheta+sintheta)+-sqrt(2sinthetacostheta) $

$ 0<=rho<=(costheta+sintheta)+sqrt(sin(2theta) $ ???

[21zuclo]

Sono esercizi dati dal prof quindi è verosimile che magari non abbia controllato dove si andava a finire svolgendo i calcoli.

Per concludere il discorso sulle coordinate, mi confermi quello che ho scritto nel post precedente? In caso a determinare l'intervallo di $ rho $ si arriverebbe soltanto tramite le seguenti

$ (x-1)^2+(y-1)^2<=1 $

$ (rhocostheta-1)^2+(rhosintheta-1)^2<=1 $

$ rho^2cos^2(theta)+1-2rhocostheta+rho^2sin^2(theta)+1-2rhosin(theta)<=1 $

$ rho^2-2rho(costheta+sintheta)+1<=0 $

$ rho_1,_2=(costheta+sintheta)+-sqrt(2sinthetacostheta) $

$ 0<=rho<=(costheta+sintheta)+sqrt(sin(2theta) $ ???

Ecco questo sembra più esatto!

Solo che io farei così
$theta in [0,pi/2];rho in [costheta+sentheta-sqrt(2costhetasentheta),costheta+sentheta+sqrt(2costhetasentheta)]$

e l'angolo è tra $0$ e $\pi/2$

perché deve essere $ 2costhetasentheta\geq 0 $

Comunque lo stavo già facendo dall'inizio così è per questo che ti avevo chiesto che calcoli avevi fatto
per avere $\rho \in [0,2]$ che non capivo..
io ormai non disegno quasi mai.. faccio solo il cambio di coordinate e poi sostituisco dentro!..

[Fab527]

Sono esercizi dati dal prof quindi è verosimile che magari non abbia controllato dove si andava a finire svolgendo i calcoli.

Per concludere il discorso sulle coordinate, mi confermi quello che ho scritto nel post precedente? In caso a determinare l'intervallo di $ rho $ si arriverebbe soltanto tramite le seguenti

$ (x-1)^2+(y-1)^2<=1 $

$ (rhocostheta-1)^2+(rhosintheta-1)^2<=1 $

$ rho^2cos^2(theta)+1-2rhocostheta+rho^2sin^2(theta)+1-2rhosin(theta)<=1 $

$ rho^2-2rho(costheta+sintheta)+1<=0 $

$ rho_1,_2=(costheta+sintheta)+-sqrt(2sinthetacostheta) $

$ 0<=rho<=(costheta+sintheta)+sqrt(sin(2theta) $ ???

Ecco questo sembra più esatto!

Solo che io farei così
$theta in [0,pi/2];rho in [costheta+sentheta-sqrt(2costhetasentheta),costheta+sentheta+sqrt(2costhetasentheta)]$

e l'angolo è tra $0$ e $\pi/2$

perché deve essere $ 2costhetasentheta\geq 0 $

Comunque lo stavo già facendo dall'inizio così è per questo che ti avevo chiesto che calcoli avevi fatto
per avere $\rho \in [0,2]$ che non capivo..
io ormai non disegno quasi mai.. faccio solo il cambio di coordinate e poi sostituisco dentro!..

Grazie

Ultimo piccolo dubbio, tu hai preso $ rho $ in $ [costheta+sentheta-sqrt(2costhetasentheta),costheta+sentheta+sqrt(2costhetasentheta)] $...ma $ costheta+sintheta-sqrt(2costhetasintheta) $ non rischia di essere una quantità negativa (e considerando che $ rho $ è per definizione maggiore o uguale a zero, non andrebbe bene)?

Oppure il fatto che il prodotto di seno e coseno, due numeri con valore assoluto più piccolo di 1, che quindi moltiplicandosi diventano ancora più piccoli basta ad assicurare la positività a $ rho $?
Ci sarebbero quel 2 e quella radice che potrebbero dare problemi.

EDIT: Considerando ovviamente che seno e coseno sono entrambi positivi nell'intervallo di $ theta $ considerato