limite e punto di accumulazione

[asromavale]

il mio testo di riferimento introduce il concetto di limite per funzioni definite in $A$ ,costituito da un intervallo o insieme finito di intervalli, con $x_0$, punto prescelto per il calcolo del limite,appartenente ad $A$ o di frontiera per esso.In appendice poi ,generalizza la definizione di limite introducendo il concetto di punto di accumulazione e dicendo che non è necessario che il dominio sia costituito da un intervallo o insieme finito di intervalli, ma basta che $x_0$ sia di accumulazione per l'insieme $A$ in cui la funzione e' definita. Accenna dunque ad insiemi di natura più generale di $A$ che se costituiscono il dominio di una funzione è possibile calcolare il limite di questa purché esista $x_0$ punto di accumulazione.Ora la mia curiosità era sapere quali potrebbero essere questi insieme "di natura più generale" che vengono citati per i quali è possibile calcolarne il limite.
grazie in anticipo

[Rigel]

Se prendi \(A = \mathbb{Q} =\) insieme dei numeri razionali, ogni punto di \(\mathbb{R}\) è di accumulazione per \(A\) (basta sfruttare il fatto che i razionali sono densi nei reali, cioè che in ogni intervallo aperto non banale \((a,b)\subseteq\mathbb{R}\), per quanto piccolo sia, trovi sempre dei numeri razionali).
Ad esempio, se prendi \(x = \sqrt{2}\), hai che \(x\not\in A\), però ogni intorno di \(x\) contiene punti di \(A\) (ovviamente distinti da \(x\) stesso, visto che lui in \(A\) non ci sta).

[asromavale]

ma affinchè si possa fare il limite di una funzione in un punto $x_0$ non è sufficiente che la funzione sia definita in un intorno di quel punto?perchè è necessario che $x_0$ sia di accumulazione?

[Rigel]

ma affinchè si possa fare il limite di una funzione in un punto $x_0$ non è sufficiente che la funzione sia definita in un intorno di quel punto?

In tal caso il punto, infatti, è di accumulazione (come hai correttamente detto, "è sufficiente").
La questione sta nel fatto che, affinché \(x_0\) sia di accumulazione per il dominio \(A\) della funzione, non è necessario che tutto un intorno di \(x_0\) sia contenuto in \(A\).

[asromavale]

infatti per la definizione di punto di accumulazione è necessario che in ogni intorno di $x_0$ ci caschi solo un punto di $A$ distinto da $x_0$.quindi nel tuo esempio posso fare il limite per $x\rightarrow sqrt(2)$ perchè è di accumulazione per $A$ anche se un intorno di $A$ contiene anche numeri che non appartengono ad $A$ (numeri reali che non appartengono a $Q$)
é giusto il ragionamento?

[Rigel]

infatti per la definizione di punto di accumulazione è necessario che in ogni intorno di $x_0$ ci caschi solo un punto di $A$ distinto da $x_0$.quindi nel tuo esempio posso fare il limite per $x\rightarrow sqrt(2)$ perchè è di accumulazione per $A$ anche se un intorno di $A$ contiene anche numeri che non appartengono ad $A$ (numeri reali che non appartengono a $Q$)
é giusto il ragionamento?

A patto di cambiare quel "solo" con un "almeno".

[asromavale]

ok ti ringrazio