convergenza uniforme successione di funzioni

[ostrogoto]

Il teorema che ho citato deriva direttamente dalla definizione di limitatezza e conv. unif., questione di una riga di dimostrazione.
teoremaSia $ {f_n} $ una successione di funzioni limitate convergente uniformemente a f su X. Allora f e' limitata.
Dim
Per ipotesi
$ AAninmathbb(N)" "EE C_n : |f_n(x)|<=C_n AAx\inX$
Dalla def di conv. unif. per $ epsilon=1" "EEN_0: AAn>=N_0" "Sup|f_n(x)-f(x)|<1 $
quindi
$ AAx\inX" "|f(x)|<=|f(x)-f_(N_0)(x)|+|f_(N_0)(x)|<=1+C_(N_0) $
qed