Esercizio sui naturali

[ElCastigador]

p è un primo che divide entrambi i numeri naturali x,y appartenenti a N\{0} $ rArr $ $ p^p $ divide $ x^y $

Come la dimostro o la nego?

[Gi8]

Se $p$ divide sia $x$ che $y$, allora $x= p*a$ e $y=p*b$, per opportuni $a,b in NN setminus {0}$.

Dunque $x^y= ...$

[ElCastigador]

Non ci arrivo prorpio,potresti farmi la dimostrazione completa?

[Gi8]

,potresti farmi la dimostrazione completa?

No.
Quanto fa $x^y$?

[ElCastigador]

(p*a)^(p*b)...

[Gi8]

Esatto. Ora, per le proprietà delle potenze, si ha $(p a)^(pb)= p^(pb)*a^(pb)= (p^p)^b * a^(pb)$

[ElCastigador]

E poi come continuo?Scusami se non ci arrivo ma sto facendo il possibile..

[Gi8]

Dobbiamo dimostrare che $p^p$ divide $x^y$.
Abbiamo ottenuto che $x^y = (p^p)^b * a^(pb)$, dove $a,b in NN setminus{0}$.

Vale questo: $p^p$ divide $(p^p)^b$ (questo te lo lascio dimostrare a te).
Dunque si ha $p^p$ divide $(p^p)^b* a^(pb)$, che è proprio $x^y$. Fine

[ElCastigador]

Dobbiamo dimostrare che $p^p$ divide $x^y$.
Abbiamo ottenuto che $x^y = (p^p)^b * a^(pb)$, dove $a,b in NN setminus{0}$.

Vale questo: $p^p$ divide $(p^p)^b$ (questo te lo lascio dimostrare a te).
Dunque si ha $p^p$ divide $(p^p)^b* a^(pb)$, che è proprio $x^y$. Fine

Questo passaggio non l'ho afferrato bene.Come mai puoi concludere cosi?

[Gi8]

In generale, se $n$ divide $m$, allora $n$ divide anche $m*h$, per ogni $h in NN setminus {0}$.

Nel nostro caso particolare, $n=p^p$, $m=(p^p)^b$ e $h= a^(pb)$.

PS: ma stai facendo le superiori o l'università?