[ex] convergenza serie

[jitter]

Devo studiare la convergenza della serie di potenze $ sum_(n=1)^ (+oo) (2^n/n+3^n/n^2)x^n $. Il suggerimento è di usare il criterio della radice, ma non sono riuscita ad applicarlo a questo caso.

E' ugualmente corretto fare in quest'altro modo? Spezzo la serie:

$ sum_(n=1)^ (+oo) 2^n/n x^n+sum_(n=1)^ (+oo)3^n/n^2x^n $

Applico alla prima serie il criterio del rapporto
$ lim_(n -> +oo)2^(n+1)/(n+1)n/2^n|x|= 2|x|<1 hArr |x|<\1/2 $ e ottengo che la serie è convergente per $|x| < 1/2$.

Adesso applico alla prima serie il criterio del rapporto
$ lim_(n -> +oo)3^(n+1)/(n+1)^2 n^2/3^n|x|= 3|x|<1 hArr |x|<\1/3 $ e ottengo che la serie è convergente per $|x| < 1/3$.

La serie data, quindi, è convergente per $|x| < 1/2$ et $|x| < 1/3$, cioè per $|x| < 1/3$ . [vedi EDIT, sotto]

Non riesco però a determinare il carattere della serie agli estremi dell'intervallo. Per $x = 1/3$ ho
$ sum_(n=1)^(+oo) = (2^n/n+3^n/n^2)1/3^n=sum_(n=1)^(+oo)((2/3)^n1/n+1/n^2) $ ma non riesco ad andare avanti. Lo stesso per $x = -1/3$...

Grazie mille a chi mi darà una mano!

[EDIT] * "La serie data, quindi, è convergente per $|x| < 1/2$ et $|x| < 1/3$, cioè per $|x| < 1/3$": ripensandoci, questa sembra una stupidaggine, però in effetti $[-1/3, 1/3]$ è l'intervallo di convergenza che deve risultare. E' un caso?

[ostrogoto]

Il criterio della radice applicato alle serie di potenze:
$ (2^n/n+3^n/n^2)^(1/n)=[3^n/n^2((n^2*2^n)/(n*3^n)+1)]^(1/n)=[3^n/n^2(n(2/3)^n+1)]^(1/n)=[(3^n/n^2)(1+o(1))]^(1/n)=3/n^(2/n)+o(1/n^(2/n))=3e^((-2/n)lnn)+o(1/n^(2/n))rarr3 $ per $ n rarr+oo $

quindi il raggio di convergenza e' $ R=1/3 $ e l'intervallo di convergenza garantito dal criterio e' $ (-1/3,1/3) $.
Per il punto limite $ x=3 $

$ (2^n/n+3^n/n^2)(1/3)^n=1/n(2/3)^n+1/n^2 $

serie convergente poiche' somma di due serie convergenti [per la prima vale $ 1/n(2/3)^n<=(2/3)^n $ serie geometrica convergente]

Idem per $ x=-1/3 $ perche' la serie $ (2^n/n+3^n/n^2)(-1/3)^n $ converge assolutamente per quanto detto sopra.

Conclusione: l'intervallo di convergenza e' [-1/3,1/3].

P.S. e' lecita l'operazione di dividere in due parti una serie: $ sum_(n=0)^(+oo)(a_n+b_n)=sum_(n=0)^(+oo)a_n+sum_(n=0)^(+oo)b_n $ e pure ha senso il risultato che hai ottenuto: se entrambe le serie sono positive e una diverge e una converge, supponiamo $ sum_(n=0)^(+oo)a_n=+oo $ mentre $ sum_(n=0)^(+oo)b_n=K $, allora essendo $ sum_(n=0)^(+oo)a_n<=sum_(n=0)^(+oo)(a_n+b_n) $ segue che $ sum_(n=0)^(+oo)(a_n+b_n) $ diverge! Mentre se entranbe le serie convergono allora la somma sara' la somma delle somme delle due. Cosi' si spiega anche il risultato sull'intervallo di convergenza che hai ottenuto.

[jitter]

Grande!! Ci vuole un po' di fantasia per queste convergenze...