Integrali-calcolo dell'area

[allthewayanime]

Salve a tutti! Qualcuno mi potrebbe spiegare come si calcola l'area ,date due funzioni\(\displaystyle f(x)=x^5-2x+1 ;
g(x)=x^5-2x^2+1 \)?

[Summerwind78]

Ciao,

immagino tu voglia calcolare l'area sottesa tra una di queste funzioni e l'asse delle ascisse giusto?

se così fosse, devi anche delimitare tra quali valori di $x$ vuoi calcolarla

nel senso che una funzione di solito si estende su tutti l'asse reale, quindi per calcolare un'area ti servono due valori di $x$ che delimitino la funzione.



Dati due valori $x=a$ e $x = b$ per calcolare l'area $A$ compresa tra l'asse delle $x$ e la funzione $f(x)$ devi calcolare l'integrale definito

\( \displaystyle \displaystyle A= \int_{a}^{b} f(x) dx \)

spero di esserti stato di aiuto

[allthewayanime]

A me esce \(\displaystyle ∫(2x^2-2x)=(2x^3/3+c-x^2) \) da qui cosa devo fare?

[Frink]

Stai confondendo un po' i concetti. Quello che hai scritto è un integrale indefinito, ossia una primitiva di $2x^2-2x$, che qui non ti serve a nulla.

Se ho interpretato bene il problema, devi trovare per prima cosa le intersezioni tra le due curve, così saprai tra quali estremi calcolare l'integrale definito, che esprime l'area compresa tra una funzione e l'asse delle ascisse.

Se trovi i punti di intersezione delle due funzioni, poi dovrai scrivere l'integrale indefinito tra le due intersezioni (in caso di intersezioni multiple, prendile a coppie).
Ma di che funzione?
Siccome l'area che cerchi sarebbe l'integrale di quella maggiore meno l'integrale di quella minore, puoi effettivamente calcolarli entrambi e poi sottrarre. Un metodo più intelligente è sfruttare la proprietà di addizione degli integrali e scrivere direttamente l'integrale definito della differenza tra le due funzioni, con estremi le intersezioni di cui sopra.

[allthewayanime]

Stai confondendo un po' i concetti. Quello che hai scritto è un integrale indefinito, ossia una primitiva di $2x^2-2x$, che qui non ti serve a nulla.

Se ho interpretato bene il problema, devi trovare per prima cosa le intersezioni tra le due curve, così saprai tra quali estremi calcolare l'integrale definito, che esprime l'area compresa tra una funzione e l'asse delle ascisse.

Se trovi i punti di intersezione delle due funzioni, poi dovrai scrivere l'integrale indefinito tra le due intersezioni (in caso di intersezioni multiple, prendile a coppie).
Ma di che funzione?
Siccome l'area che cerchi sarebbe l'integrale di quella maggiore meno l'integrale di quella minore, puoi effettivamente calcolarli entrambi e poi sottrarre. Un metodo più intelligente è sfruttare la proprietà di addizione degli integrali e scrivere direttamente l'integrale definito della differenza tra le due funzioni, con estremi le intersezioni di cui sopra.

Come si trovano i punti di intersezione?

[Summerwind78]

Ciao,
I punti di intersezione tra due funzioni sono quei punti in cui le due funzioni hanno lo stesso valore.

Ti basta quindi imporre $f(x)=g(x)$ e ricavi i valori di $x$ in cui le funzioni coincidono

[allthewayanime]

Ciao,
I punti di intersezione tra due funzioni sono quei punti in cui le due funzioni hanno lo stesso valore.

Ti basta quindi imporre $f(x)=g(x)$ e ricavi i valori di $x$ in cui le funzioni coincidono

Quindi i due risultati sono x=0 e x=1 poi \(\displaystyle ∫^1_0(2x^2-2x)=(2x^3/3+c-x^2) \) ...come si calcola?

[Summerwind78]

Ciao


temo tu faccia un po' di confusione tra gli integrali indefiniti, e gli integrali definiti.

Nel caso degli integrali definiti non viene messa aggiunta la costante $c$

se prendiamo una funzione $f(x)$ di cui $F(x)$ è una sua primitiva, hai che

\( \displaystyle \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b)-F(a) \)

quindi nel tuo caso come verrebbe?

[allthewayanime]

Ah,adesso ho capito...quindi con la sostituzione verebbe \(\displaystyle (2/3-1)-0=1/3 \) é giusto?

[Summerwind78]

$2/3 -1 = 1/3$ ??? sicuro?