Limite

[fra4]

Salve..
qualcuno saprebbe spiegarmi perchè il $lim x->0 senx*sen(1/x)=0$ ?
Io so che per x che tende a zero senx è asint. equivalente a x
quindi ho $lim x*sen(1/x)$ e poi come procedo?

[Frink]

Hai $x$ che tende a $0$ moltiplicato per una quantità, $\sin(\frac{1}{x})$, che sarà certamente limitata (infatti il seno oscilla tra $-1$ e $1$.
Dunque, per qualunque valore assuma $\sin(\frac{1}{x})$ la $x$ sarà talmente piccola da portare il prodotto a $0$.

[fra4]

Non c'è un procedimento più pratico e meno teorico per dimostrarlo?

[Frink]

Più pratico di così!

Ho scritto cose che in facoltà non direi mai pena la scomunica... Ho semplificato un concetto da scuola superiore: qualsiasi numero moltiplicato per $0$ fa $0$.

[fra4]

capito,grazie

[dynaxus]

Allora vedo di spiegartelo evitando cose lunghe.

Per dimostrarlo bisogna "tornare indietro" ai limiti di successioni.

Prendiamo come esempio i seguenti 2 limiti:

$ lim_(n->+oo) sin (npi ) $

$ lim_(n->+oo) sin(pi/2+npi) $

Il primo limite è sempre uguale a zero qualunque sia $n$, poiché seno di multipli di $pi$.

Il secondo limite invece oscilla sempre tra $[-1;1]$, poiché seno di multipli di $pi/2$.

Abbiamo trovato dunque due successioni per le quali il seguente limite generalizzato

$ lim_(n->+oo) sin(n) $

può assumere ben tre valori diversi, ossia $ -1; 0; 1$.

Tutto questo va contro la tesi del teorema dell'unicità del limite, che afferma che se una successione ammette limite $l$, allora questo è UNICO.

Tale teorema, come ben sai, si estende anche per le funzioni.
Inoltre devi avere ben chiaro il concetto in cui da limiti di successioni passiamo a quelli di funzioni.