Dubbi su grafico di funzione

[Lilla93]

Io ho provato a risolverla, ma non ho capito come devo trovare le soluzioni comuni e come stabilire quando è maggiore o minore di zero.

eserizio.jpg

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[Lilla93]

Non capisco come devo trovare le soluzioni comuni.

[Brancaleone]

Ciao Lilla93. Ma esattamente che devi fare? Disegnarne il grafico, verificare che sia continua, ...?

[Lilla93]

Studiare la funzione in generale. Con la prima funzione non ho problemi; con la seconda ho difficoltà col valore assoluto cioè nel trovare le soluzioni quando è maggiore o minore di zero.

[Brancaleone]

Per il valore assoluto hai

\[\left| {{x^3} - {x^2}} \right| = \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {x^2}\quad {\text{per }}x \le 0 \cup x \ge 1\\
{x^2} - {x^3}\quad {\text{per }}0 < x < 1
\end{array} \right.\]

quindi la funzione è

\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2x + 7}}{{1 - x}}\quad \quad {\text{per }}x \le - \frac{7}{2}\\
28x - {x^2}\quad {\text{per }} - \frac{7}{2} < x \le 0\\
28x + {x^2} - {2x^3}\quad {\text{per }}0 < x < 1\\
28x - {x^2}\quad {\text{per }}x \ge 1
\end{array} \right.\]

Ora puoi studiare la positività per i singoli intervalli senza troppi problemi

[Lilla93]

mmm, grazie però il problema è proprio che non capisco come ci si arriva a quello che mi hai scritto! Comunque, se puoi, daresti un'occhiata all'allegato dove l'ho risolta, così mi dici dove sbaglio per favore??

[Lilla93]

e poi nel valore assoluto (x^2)-(x^3) vale da -infinito a 1 escluso, no?

[Brancaleone]

mmm, grazie però il problema è proprio che non capisco come ci si arriva a quello che mi hai scritto!

Una volta esplicitato il modulo per i due intervalli guardi la funzione:
*per $x<=-7/2$ non abbiamo problemi;
*per $x> -7/2$ abbiamo il pezzo con il modulo, il quale però cambia a seconda di dove ci troviamo: basandoci sulle condizioni trovate quando abbiamo esplicitato il modulo osserviamo che nell'intervallo $-7/2<x<=0$ l'argomento di questi è positivo, quindi basta sostituire $|x^3-x^2|$ con $x^3-x^2$;
*tra $0$ e $1$ l'argomento del modulo è negativo, quindi sostituiamo $|x^3-x^2|$ con $x^2-x^3$;
*per $x>=1$ l'argomento torna ad essere positivo, e quindi sostituiremo nuovamente $|x^3-x^2|$ con $x^3-x^2$.

[Brancaleone]

e poi nel valore assoluto (x^2)-(x^3) vale da -infinito a 1 escluso, no?

No. Dimentichiamoci di $f(x)$ e concentriamoci solo sul modulo: bisogna studiarne la positività

$x^3-x^2 >0$

$x^2(x-1) >0$

$x^2$ è positivo per $x>0$, mentre $(x-1)$ lo è per $x>1$. Mettendo insieme otteniamo che il prodotto è positivo per $x<0 cup x>1$, cioè $(-oo, 0) cup (1,+oo)$.

[Lilla93]

ma x^2 è sempre maggiore di 0, tranne in 0 che vale 0 (infatti (-2)*(-2)=4 come tutti i numeri negativi), ma il mio problema è quando faccio i grafici, come ho fatto nel foglio allegato, sbaglio sicuramente qualcosa ma non so cosa