Integrale indefinito cos(2x)sinx

[Sossella]

Ciao ragazzi, mi data una mano a risolvere il seguente integrale per favore $ int cos2xsinxdx $
Conoscendo che $ cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2=1 -2(sinx)^2 $ allora ho pensato di integrare per parti
$ int cos2xsinxdx=int [(cosx)^2-(sinx)^2](sinx)dx=int 2(cosx)^2sinx-(sinx)^3dx=int 2(cosx)^2sinxdx - int (sinx)^3dx $
Però mi sembra una strada senza uscita

[ad201903191857]

$cos2x = 2cos^2x -1$

posto $t= cosx$, si ha $-sinxdx= dt$

dunque l'integrale diviene $int (1-2t^2) dt$

[sapo93]

Lo hai preso dalla parte più difficile, se sai che

$ cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2=1 -2(sinx)^2 $

allora puoi fare la sostituzione $cos2x = 1 -2(sinx)^2 $ nell'integrale, e quindi

$ int (1 -2(sinx)^2)sinxdx = int sinxdx - int 2(sinx)^3dx$



EDITScusa suv, non avevo visto che avevi già risposto

[Sossella]

$cos2x = 2cos^2x -1$

posto $t= cosx$, si ha $-sinxdx= dt$

dunque l'integrale diviene $int (1-2t^2) dt$

Lo hai preso dalla parte più difficile, se sai che

cos2x=(cosx)2−(sinx)2=1−2(sinx)2

allora puoi fare la sostituzione cos2x=1−2(sinx)2 nell'integrale, e quindi

∫(1−2(sinx)2)sinxdx=∫sinxdx−∫2(sinx)3dx

Vi ringrazio!
Ascoltate...ma se io procedo con il metodo per parti, dovrei ottenere lo stesso risultato vero?
In qualunque integrale indefinito vale ciò?

[ad201903191857]

potresti farlo per parti (trattandosi di prodotto di f goniometriche, dovresti integrare per parti due volte per tornare all'int di partenza...)

per parti verrebbe:

$int (cos2x sinx)dx = [(1/2)sin2xsinx] - int (cos2xcosxdx)dx = [(1/2)sin2xsinx] - ( [(1/2)sin2xcosx] + int (cos2xsinx)dx )$

posto $ int (cos2x sinx)dx = I $ si avrebbe $ 2I = 1/2sin2xsinx - 1/2sin2xcosx $

oltre ai tre quattro passaggi in più, a occhio si nota che se l'integrale fosse stato su un intervallo sarebbero stati dolori (nel senso che le possibilità di sbagliare sarebbero decuplicate, specie per chi magari non ha ben presente come si comporta $y=sin2x$)

[Sossella]

potresti farlo per parti (trattandosi di prodotto di f goniometriche, dovresti integrare per parti due volte per tornare all'int di partenza...)

per parti verrebbe:

$int (cos2x sinx)dx = [(1/2)sin2xsinx] - int (cos2xcosxdx)dx = [(1/2)sin2xsinx] - ( [(1/2)sin2xcosx] + int (cos2xsinx)dx )$

posto $ int (cos2x sinx)dx = I $ si avrebbe $ 2I = 1/2sin2xsinx - 1/2sin2xcosx $

oltre ai tre quattro passaggi in più, a occhio si nota che se l'integrale fosse stato su un intervallo sarebbero stati dolori (nel senso che le possibilità di sbagliare sarebbero decuplicate, specie per chi magari non ha ben presente come si comporta $y=sin2x$)

Ok, grazie mille! Gentilissimi!!