Equazione differenziale di primo grado lineare non omogenea

[fhabbio]

Data la seguente equazione differenziale

$(dv(t))/dt + a*v(t) = b*e(t)$

con $a$,$b$ costanti note e $e(t)=sin(omega*t)$

pervengo alla seguente soluzione (sarò sincero, ho applicato immediatamente e spudoratamente la formula risolutiva per equazioni differenziali del primo ordine lineari non omogenee con forzamento non costante)

$v(t)= C*e^(-a*t)+(a*b*sin(omega*t)-omega*b*cos(omega*t))/(omega^2+a^2)$

dove $C$ è una costante da determinare tramite condizioni al contorno.

Ora il punto è questo: mi chiedevo se esiste un metodo per semplificarla o una forma alternativa.

Dico questo perchè confrontandomi con un collega di corso, lui giustamente considera la soluzione completa come somma della

soluzione della omogenea associata
+
una soluzione particolare

ora sono d'accordo con lui nel calcolo della soluzione dell'omogenea $v(t)_(o)=C*e^(-a*t)$

ma si può considerare come soluzione particolare una funzione sinusoidale isofrequenziale del tipo

$v(t)_(p)=P*sin(omega*t+phi)$

???

anche perché poi vanno calcolati $P$ e $phi$

[fhabbio]

Non speravo più in una risposta...!!!
sei stato illuminante! grazie mille!