Poli di una funzione meromorfa

[Plepp]

Buongiorno a tutti!

Indico con $\Omega$ un aperto di $CC$, e chiamo meromorfa una funzione $f$ per cui esiste $P\subset \Omega$ tale che $f$ è olomorfa in $\Omega\setminus P$ e ogni punto di $P$ è un polo di $f$.

Domanda: c'è qualche motivo per cui si possa dire a priori che $P$ è discreto (cioé non abbia punti di accumulazione in $\Omega$)?

[ficus2002]

Un polo è, per definizione, una singolarità isolata, cioè la funzione deve essere definita e olomorfa in un intorno del punto, eccetto al più il punto stesso. Quindi $P$ è costituito da punti isolati, cioè è discreto; aggiungerei, inoltre, l'ipotesi che $P$ sia chiuso in $\Omega$, in questo modo $\Omega-P$ è un aperto del piano su cui $f$ è definita e olomorfa.
Quindi si richiede che $P$ sia un sottoinsieme discreto e chiuso di $\Omega$ o, equivalentemente, che non abbia punti di accumulazione in $\Omega$.

[Plepp]

Ciao ficus! Grazie per aver risposto.

Credo di aver detto una scemenza: dire che $P$ è discreto non equivale a dire che non abbia punti di accumulazione in $\Omega$ A me servirebbe sapere quest'ultima cosa.

[ficus2002]

Un sottoinsieme di uno spazio topologico non ha punti di accumulazione se e solo se è chiuso e discreto.

[Plepp]

Nella mia definizione l'ipotesi che $P$ sia chiuso non ce l'ho, purtroppo (quindi devo farne a meno).

In ogni caso credo di aver risolto: suppongo per assurdo che $P$ abbia un punto di accumulazione $z\in \Omega$; $z\notin P$ dato che $P$ è discreto, dunque $f$ è definita e continua in $z$.

Esiste una successione $(z_n)_n$ in $P$ tale che $z_n\to z$. Considero una seconda successione $(w_n)_n$ in $\Omega\setminus P$ tale che $|w_n-z_n|<1/n$ e $|f(w_n)|>n$ (esiste perché, per ogni $n$, essendo $z_n$ un polo si ha $\lim_{z\to z_n}|f(z)|=+\infty$). Chiaramente si ha $w_n\to z$ e $|f(w_n)|\to +\infty$, il che contraddice il fatto che $f$ è continua in $z$.