Es. Serie a segni alterni. Dubbio su monotonia e criterio di Leibniz.

[ac.andrea]

Buongiorno a tutti,
mi presento, mi chiamo Andrea e sono uno studente di Fisica e (purtroppo è arrivato il momento) devo sostenere l'esame di Analisi I. Mi scuso in anticipo se le domande che porrò saranno di facilità immane, ma non riesco a risolvere da solo i dubbi che ho.
Ad ogni modo, arrivo al dunque del mio primo dubbio. Vado per ordine, evidenziando in grassetto i dubbi passo passo.

In merito alle serie: in questo esercizio devo studiare una serie a segni alterni del tipo:
$\sum_{n=1}^(\+infty) (-1)^n frac {1} {n^2 +2(-1)^n n}$ , $a_n = \{(frac {1} {n^2 + 2n} se.n.è.pari) ,(frac {1} {n^2 - 2n} se.n.è.dipari) :} $
studiando convergenza semplice ed assoluta.


In primis ho provato ad utilizzare il Criterio di Leibniz.
i) $lim_(n->(+\infty)) a_n = lim_(n->(+\infty)) frac {1} {n^2 +2(-1)^n n} = 0 $ in quanto (è corretto?) $frac {1} {n^2 +2(-1)^n n} ~ frac {1} {n^2}$ per gerarchia d'infiniti. Quindi $lim_(n->(+\infty)) frac {1} {n^2} = 0$. La prima condizione è quindi rispettata.
ii) $ a_n >= a_(n+1) $. Qui ho un sacco di problemi .
1° dubbio: in generale, posso usare i concetti di asintotico per dimostrare la monotonia nel caso in cui la variabile indipendente vari tra $0$ e $+infty$?. Ho pensato che la condizione deve essere rispettata per un certo $n >= n_0$, quindi prendendo un $n_0$ "incredibilmente grande" è come se facessi un limite su $a_n$. Entro nel dettaglio di cosa ho fatto:

Se $n$ è pari, quindi $n+1$ è dispari:
$frac {1} {n^2 - 2n} >= frac {1} {(n+1)^2 + 2(n+1)} = frac {1} {n^2 + 2n}$ ma usando il mio ragionamento (di "asintotico camuffato") otterrei $frac {1} {n^2 - 2n} ~ frac {1} {n^2} >= frac {1} {n^2 + 2n} ~ frac {1} {n^2} $ $=>$ verificato che $ a_n >= a_(n+1) $.

Se $n$ è dispari, quindi $n+1$ è pari:
$frac {1} {n^2 + 2n} >= frac {1} {(n+1)^2 - 2(n+1)} = frac {1} {n^2 - 2n}$ ma usando il mio ragionamento (di "asintotico camuffato") otterrei $frac {1} {n^2 + 2n} ~ frac {1} {n^2} >= frac {1} {n^2 - 2n} ~ frac {1} {n^2} $ $=>$ verificato che $ a_n >= a_(n+1) $.
Quindi il criterio di Leibniz è verificato, la serie converge. Dimostro inoltre che la serie converge assolutamente in questo modo.
$frac {1} {n^2 +2(-1)^n n} ~ frac {1} {n^2}$ $=>$ $frac {1} {n^2} <= frac {1} {n^2}$ e per il criterio del confronto - con la serie armonica $frac {1} {n^2}$ che converge - la serie $\sum_{n=1}^(\+infty) (-1)^n frac {1} {n^2 +2(-1)^n n}$ converge assolutamente. Per dimostrare che una serie $\sum_{n=1}^(\+infty) (-1)^n a_n $ converge assolutamente, devo controllare che converga $\sum_{n=1}^(\+infty) | (-1)^n a_n | $, quindi basta che converga $\sum_{n=1}^(\+infty) a_n $, giusto?
Tuttavia il criterio di Leibniz non è verificato per questo esercizio, quindi ho sbagliato tutto . Il problema è che non so dove ho sbagliato potreste per favore aiutarmi a capire? grazie mille in anticipo.

[Noisemaker]

i) $ lim_(n->(+\infty)) a_n = lim_(n->(+\infty)) frac {1} {n^2 +2(-1)^n n} = 0 $ (è corretto?)

Be si, evidentemente
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2+2(-1)^nn}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2 }\cdot \frac{1}{1+\frac{2(-1)^n }{n }}=0,\]
e da questo dovresti riuscire anche a capire il carattere della serie di partenza ( o meglio del modulo della serie di partenza) e concludere ... senza scomodare Leibniz!

[ac.andrea]

i) $ lim_(n->(+\infty)) a_n = lim_(n->(+\infty)) frac {1} {n^2 +2(-1)^n n} = 0 $ (è corretto?)

Be si, evidentemente
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2+2(-1)^nn}=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2 }\cdot \frac{1}{1+\frac{2(-1)^n }{n }}=0,\]
e da questo dovresti riuscire anche a capire il carattere della serie di partenza ( o meglio del modulo della serie di partenza) e concludere ... senza scomodare Leibniz!

grazie mille per la risposta. Il mio problema maggiore tuttavia è sempre sulla dimostrazione della monotonia per la condizione di Leibniz: non riesco mai a capire come dimostrarla. E' possibile usare il concetto di asintotico anche per dimostrare la monotonia?

[dissonance]

Aspetta aspetta non ti fare fregare. Quella serie converge assolutamente: pensa in modo quantitativo, sei un fisico. Quando $n$ è un numero grande, $n^2$ è estremamente più grande di $n$. Con questo in mente, consideriamo il valore assoluto del nostro termine generale:
\[
\lvert (-1)^n (n^2 +2(-1)^n n)^{-1} \rvert.\]

Noi vogliamo [i]maggiorarlo[\i], ossia trovare qualcosa che è più grande, e se questo qualcosa è termine generale di una serie (assolutamente) convergente, pure la nostra serie sarà assolutamente convergente. Allora consideriamo il reciproco
\[
\lvert(n^2 +2(-1)^n n)\rvert\]
e vediamo di [i]minorarlo[\i], cioè di trovare qualcosa di più piccolo. Quel pezzo oscillante $(-1)^n$ introduce una lotta tra il termine "amico" $n^2$ e il termine "nemico" $n$. Nel caso peggiore i due termini sono in contrapposizione. Prendiamo quindi la stima pessimistica
\[
\lvert(n^2 +2(-1)^n n)\rvert \ge \lvert(n^2 - 2 n)\rvert.
\]
Chi vince ora? Per il discorso che facevamo prima, il nemico $2n$ è molto più piccolo dell amico $n^2$. In particolare, almeno da un certo indice in poi il nemico non arriva a metà dell'amico:
\[
2n \le \frac{n^2}{2}.
\]
Ma allora, sempre da un certo indice in poi, vale la stima
\[
\lvert(n^2 - 2 n)\rvert \ge \frac{n^2}{2}.
\]
E quindi la nostra serie originaria è dominata dalla serie
\[
2\sum \frac{1}{n^2},
\]
che è assolutamente convergente.

Il criterio di Leibniz quindi non serve a nulla. E tra l'altro qui non era neanche applicabile, perché evidentemente la successione data NON è decrescente.

[ac.andrea]

Aspetta aspetta non ti fare fregare...

grazie mille per l'aiuto. Adesso mi sono più chiari i ragionamenti da effettuare per dimostrare la convergenza assoluta.
Tuttavia, scusami la domanda, che sembrerà stupida: mettiamo caso che io volessi verificare l'inconsistenza del teorema di Leibniz, per puro esercizio di ripasso. Mettiamo che decidessi di vedere se il teorema di Leibniz funziona in questo caso, che so non funzionare. Quindi qualche passaggio delle ipotesi del teorema non dovrebbe essere verificato.
Mi muoverei così:
i) $a_n -> 0$, verificata.
ii) invece per dimostrare che è monotona non crescente $a_n >= a_(n+1)$ ho un sacco di problemi. Il risultato dovrebbe essere l'impossibilità di dimostrare questa condizione e quindi l'impossibilità di usare il criterio di Leibniz. Per questo esercizio, questa condizione non dovrebbe venire verificata e invece con il mio procedimento è verificata. Quindi sicuramente ho sbagliato qualcosa, ma non so in che parte del ragionamento ho sbagliato. Sapresti per favore aiutarmi su questo punto? Il mio problema maggiore è sempre quello di verificare la monotonia: quindi per questo non so mai se Leibniz è verificato oppure no.