Salve a tutti, ho iniziato da poco a studiare le serie numeriche ed ho problemi ad impostare questa tipologia di esercizi che ho citato nel titolo del topic. Un esempio:
- Studiare il carattere della seguente serie numerica al variare del parametro x reale.
$\sum_{n=1}^N x^n / (1 + x^(2n))$ $AA x in RR$
Ho pensato di risolvere in questo modo. Poichè il parametro $x$ varia in $RR$ il segno della serie è variabile e dunque studio la convergenza assoluta. Applico il criterio del rapporto
$\lim_{n \to \infty}|a_n|/|a_(n+1)| = 1/|x| , x in RR$
Quindi:
- Se $|x|>1$ la serie converge.
- Se $ |x|<1$ la serie diverge.
- Se $x=1$ la serie risulta costante, quindi convergente.
- Se $x=-1$ la serie è a segni alterni, per il criterio di Leibniz è non convergente.
Non sono molto convinto del procedimento. Ci sono errori? Grazie a chi risponderà!