Trasformata di Fourier, dubbio derivata [Teoria dei Segnali]

[utenteDx]

Salve, scusate ma non ho trovato una sezione più attinente.

[leggete "segnale" = "funzione"]
Ho degli esercizi che richiedono il calcolo della trasformata di Fourier di un segnale definito a tratti quindi non usa la definizione ma i teoremi di derivazione ed integrazione della trasformata; fin qui ci sono.
La cosa che non capisco nello svolgimento è che effettua per le parti del segnale prima la derivata seconda, poi la derivata prima e l'ultima parte non la deriva e non ne capisco il motivo. La traccia dell'esercizio è la seguente:

1) dato un segnale definito a tratti trovare la trasformata di fourier
2) riscrive il segnale nella forma $ x(t)=x_1(t)+x_2(t)+x_3(t) $
3) calcola $x'_1(t)$, $x''_1(t)$ e poi $X_1(f)$
4) effettua lo stesso procedimento per la seconda parte del segnale ma fermandosi alla derivata prima: calcola $x'_2(t)$ e poi $X_2(f)$
5) infine $x_3(f)$ non lo deriva e lo usa direttamente per calcolare $X_3(f)$
6) $ X(f)=X_1(f)+X_2(f)+X_3(f) $

qualcuno mi saprebbe spiegare il motivo, ho ricontrollato il libro e gli esempi che fa non mi aiutano, ancora meno la definizione, in rete non trovo nulla
grazie

[gugo82]

Posta un esempio concreto, please.

[utenteDx]

grazie per l'interesse

l'esercizio è questo:
il segnale pronto per il calcolo della trasformata di Fourier è
$ x(t)=t^2rect((t-2)/4)+(t+12)rect((t-6)/4)$

e questi sono i calcoli che esegue per trovare la trasformata $X(f)$:
(usa il teorema della derivazione che dice $(dx(t))/dt <=> j2pif*X(F)$)

$x''_1(t)=2 rect((t-2)/4)-8 delta(t-4)-16 delta'(t-4)$

$x'_2(t)=2 rect((t-6)/4)+16 delta(t-4)-20 delta(t-8)$

non capisco perchè di x1 fa la derivata seconda, di x2 la derivata prima e x3 non lo deriva.
il libro non ne parla minimamente

[gugo82]

non capisco perchè di x1 fa la derivata seconda, di x2 la derivata prima e x3 non lo deriva.
il libro non ne parla minimamente

L'idea è che, derivando successivamente, i pezzi "difficili" da trasformare scompaiono, lasciando solamente implusi e porte che si trasformano "facilmente".

Quindi la derivazione uccessiva può essere usata per semplificare la funzione da trasformare fino a che (eventualmente) compaiano solo impulsi e porte; a tal punto, si trasforma la funzione usando la regola di derivazione.

[utenteDx]

si, ho svolto interamente l'esercizio mi sembra l'idea giusta, grazie.