campi vettoriali

[shinobi9]

ciao!domanda molto semplice credo...su una cosa in cui mi ero sempre soffermato poco.Il mio libro di meccanica dei fluidi dice " un moto è detto uni-bi- o tri dimensionale se la velocità varia rispettivamente in una 2 o 3 dimensioni."....ora per velocità si intende un campo vettoriale di velocità...ma a questo punto mi sorge il dubbio.Nel dire che, ad esempio ,un campo vett. è bidimensionale non si intende che il vettote applicato nel punto abbia 2 componenti!? ovvero che sia piano!? perché a quanto dice questo libro dire che è bidimensionale equivale a dire che la velocità varia solo in 2 direzioni...e quindi ad esempio potrei avere un vettore di 3 componenti che però varia solo con x e y...ad esempio il campo V di componenti u=u (x,y)=x+2 v=v (x, y)=y+3 z=4 cioè ho 3 componenti e la velocità varia solo con x e y....questo sarebbe didimensionale!?mi pare strano...voi che dite?!:S

in sintesi la dimensione si vede in termini di codominio (numero di componenti) o di dominio(numero di variabili)..perché molti libri/siti poi riportano come definizione di campo vettoriale quella di funzione R^n-> R^n ma nel caso che ho scritto prima mi pare che ho R2-> R3... (2 variabili 3 componenti...) perché non andrebbe bene!?

[Plepp]

E' la velocità che deve essere bidimensionale, non il dominio in cui varia il punto di applicazione.

Insomma hai sempre un campo vettoriale $v:RR^3\to RR^3$, ma tutti i vettori $v(x,y,z)$ sono contenuti in un piano.

Per esempio: $v(x,y,z)=y\hat(i)-x\hat{j}$.

[shinobi9]

cioè in sintesi basta guardare il numero di componenti!? ad esempio il campo vettoriale V di comp:vx(x,y,z)=x+z; vy(x,y,z)=y+z (che se riuscite a vederlo visivamente è un campo vettoriale con vettori in modulo tanto più lunghi quanto più il punto ha z alto) è cmq bidimensionale giusto?

[Plepp]

Non c'entrano le componenti: i campi vettoriali con due componenti (nel senso che hanno la terza componente identicamente nulla) sono solo un caso particolare di campo bidimensionale.

Per esempio, $v(x,y,z):=x\hat{i}+(y+z)\hat{j}+(y+z)\hat{k}$ ha tre componenti (non identicamente nulle) ma tutti i vettori $v(x,y,z)$ stanno nel piano individuato da $u_1:=hat{i}$ e $u_2:=hat{j}+hat{k}$.

Se vuoi, una definizione alternativa è questa: $v$ è bidimensionale se $v(RR^3)$ è contenuto in un piano (vettoriale).

[shinobi9]

ok....devo dire che ho 2 libri di analisi 2 e nessuno definisce così la dimensione dei campi vettoriali ( è un argomento che affrontano in 1-2 righe)...ma faccio ingegneria..non capisco se sono io che non capisco la tua definizione o è poco intuitiva visivamente!xD cioè nello specifico non capisco cosa intendi con u2...io il campo che hai scritto lo vedo semplicemente come una funzione vettoriale di variabile vettoriale che a ogni punto associa un vettore di 3 componenti e quindi visivamente avrei detto immediatamente che è tridimensionale..anche perché per disegnarlo serve un sistema di riferimento a 3 dimensioni..questa che mi hai detto è l'unica definizione possibile?perché non l'ho mai sentita o non la riconosco!!:)

[Plepp]

Altroché, la definizione è molto intuitiva... Un campo vettoriale, come sai, è una macchinetta che appiccica a ogni punto dello spazio (facciamo tridimensionale) un vettore. Quando immagini graficamente il campo, vedi quindi vettori applicati in ogni punto dello spazio, e forse è questa la cosa che ti inganna: $v(P)$ non è un vettore applicato, bensì un vettore libero (che, a rigore, dovresti rappresentare applicato in un'origine "fittizia", qualunque sia $P$). Quando lo pensi applicato in $P$, consideri formalmente la coppia ordinata $(P,v(P))$.

Per avere una definizione di campo vettoriale "fedele" all'immagine che ne hai in mente, dovresti dire che un campo vettoriale è un'applicazione $V:RR^3\to RR^3\times RR^3$¹, $V:P\mapsto V(P)= (P,v(P))$, ma capisci bene che tutto sto formalismo è superfluo (e anche un po' pesante).

Detto ciò, la definizione di campo bidimensionale ora dovrebbe essere chiara: considera tutti i vettori $v(P)$ al variare di $P$ (e pensali applicati tutti in uno stesso punto); se l'insieme di tutti questi vettori è contenuto in un piano (= sottospazio vettoriale di $RR^3$ di dimensione $2$), o equivalentemente se puoi esprimere i $v(P)$ come combinazioni lineari di soli due vettori, allora il campo è bidimensionale.

Per esempio, il campo di velocità di una palla che trasla su un piano (orizzontale o inclinato, fa lo stesso).

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Note

1. Il primo dei due $RR^3$ del codominio è pensato come insieme di punti, il secondo come insieme di vettori. ↑

[shinobi9]

grazie forse ora ci sono...più cose conosco più mi accorgo che sarebbero da approfondire ma facendo così penso che non finirei mai...xD il libro bramanti pagani salsa di analisi 2 riporta"..un campo vettoriale è una funz. che ad ogni punto dello spazio fisico associa un vettore che può avere vari significati .."boh..forse a noi ingegneri ci trattano così.....ma in quale esame di matematica (credo tu faccia o abbia fatto matematica o fisica) si studiano!?magari cerco qualcosa..