Equazioni differenziali alle derivate parziali

[Slashino]

Salve a tutti,

Studio Ingegneria, e nel corso di Analisi ci è stato presentato il metodo di separazione delle variabili per la risoluzione di alcune equazioni differenziali alle derivate parziali. La cosa è stata presentata facendo leva sul " è ragionevole pensare che..." etc etc.
Di tutto il discorso, una cosa in particolare non mi è andata giù. Supponiamo che, per esempio, \( \displaystyle \phi(x,t)=a(x)b(t) \) , sia effettivamente soluzione dell'equazione, dal momento che l'ho supposta tale e verificata la correttezza.
Cosa mi assicura che l'unica soluzione è in quella forma e che non ve ne siano altre in forma diversa?

Non pretendo un discorso dettagliato, voglio solo capire come stanno le cose in realtà; se ci sono teoremi a riguardo,sarei ben grato se mi deste l'enunciato in modo che possa cercarlo autonomamente.

Grazie mille

[Emar]

Mi sono posto la stessa domanda qualche tempo fa.

Per trovare una candidata soluzione possiamo fare tutti i procedimenti intuitivi/formali del mondo, l'importante è che dopo, a posteriori, quella soluzione verifichi l'equazione.

Il passo successivo è garantire l'unicità. Ora, nel caso della separazione delle variabili noi cerchiamo un equazione in quella particolare forma, ma potrebbero essercene altre. Beh, se abbiamo alle spalle un teorema che ci garantisce l'unicità (basato su principi di massimo o su metodi di energia/integrali ad esempio) siamo a posto, la soluzione è l'unica possibile.

I teoremi di unicità (e di esistenza) che sto vedendo io sono specifici per ogni tipo di equazione (Calore, Onde...), forse ce ne saranno alcuni generali. Per esempio il principio del massimo dell'equazione del calore garantisce l'unicità.

Prova a consultare Salsa, "Equazioni a Derivate Parziali, Metodi Modelli e Applicazioni".

EDIT: Aggiungo anche questo: "Perché separiamo le variabili?" "Perché funziona".

[Slashino]

Ok, grazie, proverò a dare uno sguardo. Ma ho escluso l'esistenza di teoremi di unicità, perchè, nel caso di equazioni lineari, anche una combinazione (lineare appunto) di funzioni del tipo \( \displaystyle a(x)b(t) \) è ancora soluzione; quest'ultima in generale non avrà una forma del tipo \( \displaystyle c(x)d(t) \) , quindi mi sembra che sicuramente ci siano soluzioni non esprimibili come \( \displaystyle a(x) b(t) \) ; che ne pensi?

[Emar]

Non sono certo un esperto (ho iniziato il corso da poche settimane) ma direi che non ha senso parlare di unicità della soluzione di un'equazione ma piuttosto unicità della soluzione di un problema, che sia esso di Cauchy globale, o Cauchy ai limiti (Dirichlet, Neumann, Robin, misto, etc.).

In ogni caso quando vai a risolvere i problemi vai sempre a considerare sovrapposizioni (serie o integrali) delle soluzioni, ma ciò non toglie che alla fine la soluzione di un problema è unica. Il metodo di separazione delle variabili ci da un metodo per trovare la famiglia delle soluzioni.

[gugo82]

Non sono certo un esperto (ho iniziato il corso da poche settimane) ma direi che non ha senso parlare di unicità della soluzione di un'equazione ma piuttosto unicità della soluzione di un problema, che sia esso di Cauchy globale, o Cauchy ai limiti (Dirichlet, Neumann, Robin, misto, etc.).

Esatto.

D'altra parte, non ha nemmeno senso parlare di unicità delle soluzioni per un'equazione differenziale ordinaria. Infatti, se non si accoppiano alla EDO altre condizioni (e.g., condizioni iniziali, condizioni al bordo, etc...) non si riesce a determinarne un'unica soluzione.
Tanto per citare qualcosa dalla teoria base, il teorema di unicità sotto condizione di Lipschitz vale per il problema di Cauchy, mica per l'equazione in sé!

In ogni caso quando vai a risolvere i problemi vai sempre a considerare sovrapposizioni (serie o integrali) delle soluzioni, ma ciò non toglie che alla fine la soluzione di un problema è unica. Il metodo di separazione delle variabili ci da un metodo per trovare la famiglia delle soluzioni.

In certo modo, il metodo di separazione delle variabili fornisce qualcosa di paragonabile alle soluzioni di una EDO omogenea e la loro combinazione mediante serie a coefficienti incogniti fornisce una sorta di "integrale generale" della PDE. [Questo NON è vero formalmente, ma l'analogia è passabile.]

Spiegare perché il metodo "separazione + serie" funzioni non è immediato e bisognerebbe conoscere qualcosa della teoria di base degli spazi di Hilbert.

Inoltre, la separazione delle variabili è utile limitatamente alle equazioni ambientate in domini con "forme" particolari (i.e. rettangoli o palle, o domini che ad essi si riconducono via trasformazioni di coordinate relativamente semplici).

[Slashino]

Grazie ad entrambi e scusatemi per aver tardato con la risposta