$ sum_(n = 1) ^(+infty)(arctanx)^n*(1/(n^2*sqrtn+1)) $
Ho provato con l'assoluta convergenza, dato che si tratta di serie a termini variabili, ma non so come procedere, potreste svolgerne uno per intero dandomi uno schema generale da seguire?
Grazie, mi siete di grande aiuto.
Edit:
Dunque, vi mostro fino a dove sono arrivata per lo studio della seconda serie:
Studio l'assoluta convergenza, ovvero la serie:
$ sum_(n = 1) ^(+infty)(arctan|x|)^n*(1/(n^2*sqrtn+1)) $
Applico il criterio del rapporto, ossia:
$ lim_(n->+infty)((arctan|x|^(n+1))/((n+1)^2*(sqrt(n+1)+1)))*((n^2*(sqrt(n))+1)/(arctan|x|^n)) $
Semplificando il tutto, ottengo:
$ lim_(n->+infty) (arctan|x|)*((n^2*(sqrt(n))+1)/((n+1)^2*(sqrt(n+1)+1)))= arctan|x| $
Da ciò deduco che:
1) se arctan|x|>1, allora la serie diverge;
2) se arctan|x|<1, allora la serie converge;
3) se arctan|x|=1, allora nulla posso dire circa il carattere della serie (sostituendo i valori ottenuti si studia la serie e si identifica il carattere).
Dunque, per la 2) ottengo: per x>0, arctanx<1, ossia x<pi/4
per x<0, arctan(-x)<1, ossia x>-pi/4
Posso concludere che la serie converge per x compreso tra -pi/4 e pi/4.
Devo verificare i valori agli estremi, per il resto dei valori la serie divergerà.
Perdonatemi se mi sono dilungata, vorrei sapere solo se il procedimento è corretto. Inoltre non riesco a capire come risolvere la questione del punto 3), ossia come studiare la serie che ottengo sostituendo ad x i valori pi/4 e -pi/4.
Grazie a chi leggerà fino in fondo,
Secondo Edit (:-D
)Ho capito ciò che mi confondeva, per verificare il carattere agli estremi mi basta considerare arctan|x|=1 , che consiste nel sistema:
$ { ( arctanx=1, x>0 ),
( arctan(-x)=1, x<0):} $
Ciò mi porta a studiare due serie, di cui una è:
a) $ sum_(n = \1) ^(+infty)(1)^n*(1/(n^2(sqrtn)+1)) $ , che è facilmente risolubile; l'altra non capisco come ottenerla ed eventualmente studiarla, avendo a che fare con arctan(-x).
