Integrale con sostituzione di eulero

[Frasandro]

altri grattacapi con questo integrale $ int_()^() sqrt (1 + 4 x^2) dx $

svolgendo tutti i calcoli ottengo questo: $ 1/4 ln |t| + 1/4 t^2 - 1/(64 t^2) $

dopo aver razionalizzato $ 1/t = 4 sqrt (1/4+x^2) -x $ e andando a sostituire i conti non mi tornano..

GRAZIE

[tommik]

si fa tranquillamente (o quasi) per parti, ponendo come fattore differenziale 1 e fattore finito la funzione integranda...
$ int_( )^( ) sqrt(1+4x^2) dx = xsqrt(1+4x^2)-int_( )^( ) x1/2 8x/sqrt(1+4x^2) dx $

$ = xsqrt(1+4x^2)-int_()^()4x^2/sqrt(1+4x^2) dx =xsqrt(1+4x^2)-int_()^() (1+4x^2-1)/sqrt(1+4x^2)dx $

$ = xsqrt(1+4x^2)-int_()^() sqrt(1+4x^2)dx +int_()^() (1)/sqrt(1+4x^2)dx $

per cui:

$ 2int_()^() sqrt(1+4x^2)dx = xsqrt(1+4x^2) +int_()^() (1)/sqrt(1+4x^2)dx $

$ = x/2sqrt(1+4x^2) +1/4int_()^() (1)/sqrt(1+(2x)^2)(2x+sqrt(1+(2x)^2))/(2x+sqrt(1+(2x)^2))d(2x) $

ovvero:

$ x/2sqrt(1+4x^2) +1/4int_()^()(1+2x/sqrt(1+(2x)^2))/(2x+sqrt(1+(2x)^2))d(2x) $

$ x/2sqrt(1+4x^2)+1/4log| 2x+sqrt(1+(2x)^2)|+C $

ti risulta?

[tommik]

oppure una soluzione "creativa" come questa:
$ int_( )^( )sqrt(1+4x^2) dx =1/2int_( )^( ) sqrt(1+(2x)^2) d(2x) $

pongo y=2x e ottengo:


$ 1/2int_( )^( ) sqrt(1+y^2)(1+y^2)1/(1+y^2)dy $

$ 1/2int_( )^( ) sqrt(1+y^2)(1+y^2)d/dyarctan(y)dy $

$ 1/2int_( )^( ) sqrt(1+y^2)(1+y^2)darctan(y) $

ovvero:

$ 1/2int_( )^( ) 1/(cos^3(u))du $

essendo:
$ cos^2(u)=1/(y^2+1) $

ed avendo posto

$ u= arctan(y) $

risolvere 1/cos^3 è semplicissimo...

(spero di essere stato utile....per ogni chiarimento non esitare a chiedere...)

[Frasandro]

altri grattacapi con questo integrale $ $ sqrt (1 + 4 x^2) = t - 2x $ $

svolgendo tutti i calcoli ottengo questo: $ 1/4 ln |t| + 1/4 t^2 - 1/(64 t^2) $

dopo aver razionalizzato $ 1/t = 4 sqrt (1/4+x^2) -x $ e andando a sostituire i conti non mi tornano..

GRAZIE

Ho risolto l'esercizio tramite le sostituzioni di Eulero, ponendo semplicemente $ sqrt (1 + 4 x^2) = t-2x $ , svolgendo tutti i calcoli ottengo perfettamente il risultato del libro !! Alla prossima