Problema di cauchy

[Nicholas_ASR]

Ciao a tutti ho da poco iniziato analisi 2 ma non capisco come poter risolvere questo esercizio... e inoltre vorrei sapere come posso sfruttare le trasformate di Laplace per risolvere le equazioni differenziali.. grazie in anticipo
${y''-2y'+y=e^x/(x+2)$
${y(0)=0; y'(0)=0$

[Luca.Lussardi]

prova con la variazione delle costanti... io lascerei da parte la trasformata di Laplace se non in caso di estrema necessita'.

[Nicholas_ASR]

Ho provato così:
Ho risolto la omogenea associata trovando come soluzione generale $y(x)=c_1*e^x+c_2x*e^x$
Ma poi non riesco a trovare una soluzione della non omogenea per poterla sommare e ottenere quella generale...
Allora ho provato a fare la trasformata del primo membro uguale alla trasformata del secondo membro ma non riesco a fare la trasformata del secondo membro..

[Luca.Lussardi]

va bene l'integrale generale dell'omogenea, ma adesso, come ti dicevo, usa la variazione delle costanti per trattare il caso della non omogenea.

[Nicholas_ASR]

Cioè cosa intendi per la variazione delle costanti? non l'abbiamo fatto a lezione.. è un esercizio che ho trovato su internet e ho provato a fare ma con scarso successo..

[Luca.Lussardi]

puoi farlo a mano cosi': imponi che la soluzione sia data da $y=c_1(x)e^x+c_2(x)xe^x$ dove le costanti le fai dipendere da $x$ (da cui il nome variazione delle costanti). Metti $y$ nell'equazione e usa il fatto che $e^x$ e $xe^x$ sono linearmente indipendenti.

[Nicholas_ASR]

Potresti mostrarmi come? non ho ben capito che intendi far dipendere le costanti da x

[Luca.Lussardi]

prova a dare un'occhiata qui, sembra spiegato bene:

http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_del ... e_costanti

[Nicholas_ASR]

Non riesco a capire come fare.. qualcuno riesce ad aiutarmi?