EQUAZIONE DIFFERENZIALE

[petrelli92]

Ragazzi non so sviluppare la seguente equazione differenziale , potreste aiutarmi?
$ y'(x)+2y(x)tanx=(sin2x)y^2(x)$ con x compresa tra menopigrecomezzi e piùpigrecomezzi , GRAZIE

[ostrogoto]

L'equazione e' di Bernulli quindi per $ y!=0 $

$ (y')/y^2+2tan(x)1/y=sin(2x) $

Cambio variabile: $ k=1/y $ quindi $ k'=-y'1/y^2 $ e sostituisco:

$ -k'+2tan(x)k=sin(2x) $

ottenendo un'equazione lineare perfettamente risolvibile.

[ostrogoto]

$ k'-2tan(x)k=-sin(2x) $

Usando la formula per le equazioni lineari del primo ordine $ k'+a(x)k=b(x) $
definendo $ A(x)=inta(x)dx $
$ k(x)=e^(-A(x))[c+intb(x)e^(A(x))dx] $

$ A(x)=-2inttanxdx=2ln(cosx) $ ricordando che sto considerando l'intervallo $ (-pi/2,pi/2) $

$ k(x)=e^(-2ln(cosx))[c-intsin(2x)e^(2ln(cosx))dx]=1/(cos^2x)[c-2intsinxcos^3xdx]=1/(cos^2x)[c+1/2cos^4x] $

quindi ricambiando variabile

$ y(x)=1/k(x)=cos^2x/[c+1/2cos^4x] $