Problema di Cauchy e possibili scelte dei dati iniziali

[sasha5]

Salve! ho difficoltà a risolvere il seguente esercizio: per quali dati iniziali il problema di Cauchy relativo al sistema

y''(x)= x y' / (1-z)
z'(x)= 1/ (1 + x y')

ammette un'unica soluzione locale?

ho pensato che la cosa migliore in questo caso è ridurre il sistema ad uno equivalente del primo ordine ponendo p = y' => p' = y'', e ottenendo così il seguente sistema

y'=p
p'= x p /(1-z)
z'= 1 / (1+ xp)

il cui dominio è U=( (x,y,z,p) appartenente ad R^4 | z sia diverso da 1, xp sia diverso da -1).

Pongo y'(x)= f(x,y,z,p), z'(x)=g(x,y,z,p), p'(x)=h(x,y,z,p).
Allora in U la mia funzione (f(x,y,z,p), g(x,y,z,p), h(x,y,z,p)) è di classe Cinfinito e sono nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale.

è giusto? ed ora come si procede?

Grazie in anticipo!