[Analisi II] Passaggio al limite sotto segno di integrale per successioni

[Oiram92]

Sono di nuovo qui scusate, vi prometto che è l'ultimo dubbio..dopo aver spulciato tutti i compiti d'esame ho trovato questa (ultima) domanda a cui non saprei dare risposta..

Enunciare il teorema di passaggio al limite sotto segno di integrale per successioni. Spiegare perchè è lecito effettuare il passaggio al limite sotto l'integrale. Dare un esempio di quando non è lecito.

Per l'enunciato non ci sono problemi :

Sia \(\displaystyle (f_n) \) una successione di funzioni definite in \(\displaystyle [a,b] \) ed ivi Riemann-integrabili. Se la successione \(\displaystyle (f_n) \) converge uniformemente ad una funzione \(\displaystyle f : [a,b] \to R \) allora anche \(\displaystyle f \) è Riemann-integrabile ed in particolare è lecito il passaggio al limite sotto segno di integrale :

\(\displaystyle lim_{n \to oo} \int_a^b f_n(x) dx = \int_a^b (lim_{n \to oo} f_n(x)) dx \)

(?) Spiegare perchè è lecito il passaggio al limite sotto l'integrale..ehm boh..

(?) Dare un esempio di quando non è lecito. Credo che l'esempio sia legato alla risposta alla precedente domanda, però azzarderei dire che un esempio potrebbe essere una successione di funzioni per cui non vale il teorema di passaggio al limite sotto segno di integrale. Ad esempio se considero la successione :

\(\displaystyle f_n(x) = \frac{x^2+1}{nx^2+1} \)

questa converge puntualmente \(\displaystyle \forall x \in R \), non ha punti di discontinuità reali, quindi è Riemann-integrabile in tutto \(\displaystyle R \), però non converge uniformemente perchè non soddisfa la condizione necessaria per la convergenza uniforme. Quindi in tal caso, non sono verificate le condizioni del teorema e quindi non è lecito il passaggio al limite sotto segno di integrale. E' giusto oppure mi è sfuggito qualcosa? Grazie ancora!

[Dante.utopia]

Se la successione sotto integrale non è uniformemente convergente in un dato dominio, la funzione \(\displaystyle f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \) non è ivi continua, ne consegue che \(\displaystyle f(x) \) non è integrabile.

Un'esempio può essere la famiglia di curve \(\displaystyle f_n(x) = x^n \) per \(\displaystyle x \in [0,1] \) e \(\displaystyle n \) naturale.

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \left\{\begin{matrix}
1 & se \; x = 1\\
0 & altrimenti
\end{matrix}\right. \)

quindi non è lecito dire che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^n dx = \int_0^1 \lim_{n \to \infty} x^n dx \)

ma sarebbe corretto affermare che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{[0,1)} x^n dx = \int_{[0,1)} \lim_{n \to \infty} x^n dx \)

[Oiram92]

Quindi, il passaggio al limite sotto segno di integrale per una successione di funzioni uniformemente convergenti ad f è lecito perchè l'uniforme convergenza ci assicura la continuità della funzione nell'intervallo di integrazione (condizione necessaria per la Riemann-integrabilità). Per fare un esempio di successione per cui non vale questo teorema è sufficiente coniderare una successione di funzioni che hanno un punto di discontinuità per provare che non è più possibile effettuare il passaggio del limite sotto segno di integrale.

Corretto?

[dissonance]

Se la successione sotto integrale non è uniformemente convergente in un dato dominio, la funzione \(\displaystyle f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \) non è ivi continua, ne consegue che \(\displaystyle f(x) \) non è integrabile.

Non sono d'accordo con nessuna di queste affermazioni.
1) Esistono successioni di funzioni (continue e non) che convergono non uniformemente a funzioni continue. Esistono anche successioni di funzioni continue che convergono non uniformemente a funzioni non continue. E infine, esistono successioni di funzioni non continue che convergono uniformemente a funzioni non continue.

Insomma, la continuità di una funzione limite non è per forza legata alla convergenza uniforme.

2) Non è vero che solo le funzioni continue sono integrabili. Anzi, "un sacco" di funzioni sono integrabili. In pratica lo sono tutte, è piuttosto artificioso costruire esempi di funzioni non integrabili.

Un'esempio può essere la famiglia di curve \(\displaystyle f_n(x) = x^n \) per \(\displaystyle x \in [0,1] \) e \(\displaystyle n \) naturale.

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \left\{\begin{matrix}
1 & se \; x = 1\\
0 & altrimenti
\end{matrix}\right. \)

quindi non è lecito dire che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^n dx = \int_0^1 \lim_{n \to \infty} x^n dx \)

ma sarebbe corretto affermare che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{[0,1)} x^n dx = \int_{[0,1)} \lim_{n \to \infty} x^n dx \)

Anche questo esempio è IMHO completamente sbagliato. In primis, l'integrale $\int_{[0, 1)}$ è uguale all'integrale $\int_0^1$, quindi l'ultima affermazione è priva di senso. Non ha senso neanche dire che "non è lecito\(^{[1]}\) dire che \[\lim_{n\to \infty}\int_0^1x^n\, dx=\int_0^1\lim_{n\to \infty}x^n\, dx\].
Infatti questa identità è vera:
\[
\lim_{n\to \infty}\int_0^1 x^n\, dx=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n+1}= 0,
\]
e
\[
\int_0^1 \lim_{n\to \infty} x^n\, dx=\int_0^1 0\, dx=0.
\]


---

\(^{[1]}\) Personalmente osteggio la locuzione "è lecito", in matematica. Una cosa può essere "corretta" o "non corretta", ma non "lecita" o "non lecita". Altrimenti sembra che si proceda in base a leggi arbitrarie fissate a priori da entità insindacabili. Mentre invece l'unico arbitro di un ragionamento deve essere la sua correttezza.

[dissonance]

Quindi, il passaggio al limite sotto segno di integrale per una successione di funzioni uniformemente convergenti ad f è lecito perchè l'uniforme convergenza ci assicura la continuità della funzione nell'intervallo di integrazione (condizione necessaria per la Riemann-integrabilità). Per fare un esempio di successione per cui non vale questo teorema è sufficiente coniderare una successione di funzioni che hanno un punto di discontinuità per provare che non è più possibile effettuare il passaggio del limite sotto segno di integrale.

Corretto?

No, attenzione, non è questo il punto. Vedi mio post precedente.

Suggerimento: queste sono questioni di teoria standard. Meglio studiarle su un libro che su forum online. Alla fin fine perdi più tempo qui sopra che aprendo un libro ben scritto e affidabile.

[Dante.utopia]

Io di matematica ne capisco proprio poco, comunque questo argomento mi interessa, quindi ho provato a buttare carne al fuoco.

Ci son delle cose del tuo intervento che non ho capito:

Anzi, "un sacco" di funzioni sono integrabili. In pratica lo sono tutte, è piuttosto artificioso costruire esempi di funzioni non integrabili.

Ok, ma le funzioni reimann-integrabili non sono poi cosi tante...

In primis, l'integrale $ \int_{[0, 1)} $ è uguale all'integrale $ \int_0^1 $, quindi l'ultima affermazione è priva di senso.

Beh, si un solo punto ha misura nulla...

\[ \int_0^1 \lim_{n\to \infty} x^n\, dx=\int_0^1 0\, dx=0. \]

come fai ad affermare che,
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty } x^n =0 \)
per ogni x?

Personalmente osteggio la locuzione "è lecito", in matematica. Una cosa può essere "corretta" o "non corretta", ma non "lecita" o "non lecita". Altrimenti sembra che si proceda in base a leggi arbitrarie fissate a priori da entità insindacabili. Mentre invece l'unico arbitro di un ragionamento deve essere la sua correttezza.

Non ci avevo mai pensato!

[Oiram92]

No, attenzione, non è questo il punto. Vedi mio post precedente.

Suggerimento: queste sono questioni di teoria standard. Meglio studiarle su un libro che su forum online. Alla fin fine perdi più tempo qui sopra che aprendo un libro ben scritto e affidabile.

Grazie per il tuo intervento, adesso ho un pò più chiaro il fatto che la convergenza uniforme non implica la continuità però continua a sfuggirmi la questione del "è lecito..ecc".. ho chiesto sul forum perchè purtroppo il mio libro non fa riferimento a questa domanda, semplicemente dice che sotto queste condizioni è possibile effettuare il passaggio al limite sotto segno di integrale. Omette anche la dimostrazione, che in realtà non mi serve per il mio corso, però sarebbe utile per riuscire a capire il perchè della domanda..tra l'altro mi sembra di capire che secondo te chiedere "perchè è lecito" sia errato o forse ho inteso male il tuo discorso finale?

[dissonance]

\[ \int_0^1 \lim_{n\to \infty} x^n\, dx=\int_0^1 0\, dx=0. \]

come fai ad affermare che,
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty } x^n =0 \)
per ogni x?

Non affermo questo, non mi sono spiegato. Affermo invece che \(\lim_{n\to \infty}x^n=0\) per ogni \(x\in [0, 1)\), il che è sufficiente a concludere
\[
\int_0^1 \lim_{n\to \infty}x^n\, dx=\int_0^1 0\, dx.\]

[dissonance]

No, attenzione, non è questo il punto. Vedi mio post precedente.

Suggerimento: queste sono questioni di teoria standard. Meglio studiarle su un libro che su forum online. Alla fin fine perdi più tempo qui sopra che aprendo un libro ben scritto e affidabile.

Grazie per il tuo intervento, adesso ho un pò più chiaro il fatto che la convergenza uniforme non implica la continuità però continua a sfuggirmi la questione del "è lecito..ecc".. ho chiesto sul forum perchè purtroppo il mio libro non fa riferimento a questa domanda, semplicemente dice che sotto queste condizioni è possibile effettuare il passaggio al limite sotto segno di integrale.

In realtà si tratta di una dimostrazione relativamente facile. Cercala su un altro libro magari. Qualsiasi libro di analisi per matematica la contiene di sicuro. Devi dimostrare due cose:

1. il limite uniforme di una successione di funzioni Riemann-integrabili è Riemann-integrabile;
2. l'integrale del limite è uguale al limite degli integrali.

Omette anche la dimostrazione, che in realtà non mi serve per il mio corso, però sarebbe utile per riuscire a capire il perchè della domanda..tra l'altro mi sembra di capire che secondo te chiedere "perchè è lecito" sia errato o forse ho inteso male il tuo discorso finale?

No no, non è quello, è una questione personale. Personalmente non mi piace l'uso di quel termine ma questo non lo rende necessariamente errato!

[dissonance]

@Sergio: Questa è una bella risposta che copre parecchi degli aspetti importanti dell'integrazione sotto il segno di integrale. (Resterebbe da dimostrare che il limite uniforme di funzioni Riemann integrabili è Riemann integrabile, ma si tratta di un dettaglio tecnico senza particolare importanza). Quanto alla tua domanda, si, la condizione è solo sufficiente e ve ne sono di altre più generali. (Mentre penso sia difficile dare condizioni necessarie e sufficienti).

Tutte queste questioni teoriche si possono trattare facilmente solo dopo aver realizzato un upgrade della teoria, da quella di Riemann a quella di Lebesgue.

Dal punto di vista pratico, invece, l'unico esempio che aggiungerei alla tua collezione è questo:
\[
\int_0^1 \sin(nx)\, dx =\left.-\frac{\cos(nx)}{n}\right\rvert_0^1\to 0, \]
in cui una successione di integrali converge (a 0) anche se il termine generale è una successione non convergente.

In genere quando uno fa esempi di successioni di integrali in cui succedono cose strane, finisce sempre per considerare uno di questi esempi: nel tuo, c'è un problema di concentrazione, in questo c'è un problema di oscillazione.

PS: Resta solo un terzo prototipo, quello dei fenomeni di fuga ad infinito, ma quello avviene solo su intervalli non limitati.