da dissonance » 22/05/2015, 13:32
Ah si quel passaggio me lo ricordo. Mai capito cosa voglia dire, francamente. "Invarianza di forma"... mah. Mi sembra si stia arrampicando sugli specchi per giustificare dei passaggi poco rigorosi, ma utili, che si fanno in termodinamica.
In ogni modo, le formule che si usano per differenziare sono sempre queste due qua: \(d(f\cdot g)= df\cdot g + f\cdot dg\) e \(d(f+g)=df+dg\). Queste formule esprimono la relazione tra l'operatore $d$ e le operazioni algebriche. Siccome il differenziale di una costante è nullo, consegue dalla prima che \(d(Af)=Adf\) se $A$ è costante. Nota che in tutte queste formule non compare mai la dipendenza esplicita delle variabili dipendenti $f, g$ dalle variabili indipendenti, che infatti non sono neanche menzionate. Si intende che si stanno facendo dei calcoli "globali", ossia che non dipendono dalla scelta di un sistema di variabili indipendenti (o "sistema di coordinate", per dirla con un gergo più da matematici).
Nello specifico, abbiamo la formula \(p\cdot V -RT=0\), dove \(p, V, T\) sono le variabili dipendenti, e sono funzione di variabili termodinamiche che non vogliamo specificare ancora. Invece \(R\) è una costante. Applicando le proprietà di $d$ viste sopra otteniamo
\[
0=d(p\cdot V -RT )=dp\cdot V +p\cdot dV -RdT.\]
Fine.