Esercizio calcolo cifre esatte(non so come si chiama)

[simo954]

Non riesco a capire una parte del seguente esercizio
Calcolare, senza calcolatrice, $ root(3)(999) $ fino alla terza cifra esatta

Come inizio il prof ha fatto i seguenti passaggi
$ root(3)(1000-1)= root(3)(10^3-1)=root(3)(10^3(1-1/10^3) $$= 10root(3)(1-1/10^3) $ e fino a qua nessun problema.

Poi ha ricordato lo sviluppo $ (1+x)^alpha=sum_(k=0)^alpha( (alpha), (k) ) x^k $ con $ abs(x)<1 $ e già qui secondo me il prof ha sbagliato, in quanto, penso, dovrebbe essere $ (1+x)^alpha=sum_(k=0)^oo( (alpha), (k) ) x^k $.

Comunque sia, poi ha calcolato il resto n-esimo ponendo $ R_n=(alpha(alpha-1)...(alpha-n-1)(1+z)^(alpha-n-1))/((n+1)!n!)x^(n+1) $ $=$ $ ((alpha),(n+1))(1+z)^(alpha-n-1) $
Anche qui ho qualche perplessità sul resto, quell'$n!$ al denominatore è giusto? perché secondo me non ha senso, dovrebbe esserci solo $(n+1)!$. C'era anche altro che ieri non mi quadrava di questa parte, ma al momento non riesco a ritrovarla

Andando avanti ha scritto $ 2((1/3),(n+1))1/(10^3)^(n+1)<1/10^4 $ e alla fine gli viene $ 8996999/900000 $.
Quest' ultimo pezzo non l'ho proprio capito

Oltre a rendermi più chiaro l'esercizio, vorrei sapere come posso trovare esercizi simili su internet, cioè cosa dovrei scrivere? esercizi calcolo cifra esatta? non so che nome dargli
Grazie mille a chi ha avuto la pazienza di leggere tutto

[dissonance]

Secondo me sono solo errori di chi ha trascritto gli appunti. La prima serie, ovviamente è $\sum_{k=0}^\infty$, non $\sum_{k=0}^\alpha$. (La serie termina ad $\alpha$ solo quando $\alpha$ è un intero). La formula corretta per il coefficiente binomiale è
\[
\binom{\alpha}{n+1}=\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n)}{n!(n+1)}\]
perché $n!(n+1)=(n+1)!$. Poi non si capisce perché a un certo punto compaiano $z$ e $x$.

Se fossi in te rifarei il conto per i fatti miei lasciando perdere gli appunti. Usa la formula di Lagrange per il resto di Taylor. Questi esercizi si fanno tutti così.

[simo954]

Del coefficiente binomiale può darsi che ho sbagliato io a scrivere, ma la sommatoria molto probabilmente il prof, che è abbastanza distratto.
Proverò a rifarlo, ma non è che ho capito molto il procedimento...
grazie