Ciao a tutti, come sempre oggi sto tentando di domare le successioni e le serie di funzioni. In particolare ho questi due esercizi in cui mi blocco ad un certo punto. gradirei molto una spintarella per continuare
1) Per $n in NN$ sia $f_n : RR-{0} -> RR$ la successione di funzioni definita come $f_n(x) = (1+x^2)/(nx) ln(e^(nx) - nx)$. Discuterne la convergenza puntuale ed uniforme sugli intervalli di $RR-{0}$.
2) Studiare, al variare del parametro $ k in RR^+$, la convergenza puntuale ed uniforme in $RR$ della serie $ sum_(n = 1)^(+infty) (k arctan(sqrt(n)x))^n $. Per valori di k in cui la serie convergesse solo puntualmente discutere l'uniformità della convergenza in sottoinsiemi limitati di $RR$.
Passo ad esporvi cosa sono riuscito a fare io. Vi prego di non eccedere nell'insultarmi qualora dovessi aver cannato di brutto
1) Innanzitutto vedo se la successione converge puntualmente a qualcosa ed eventualmente lo calcolo. viene abbastanza evidente che $f_n(x) ->_(n->+infty) f(x) = { ( (1+x^2) text( per ) x in (0,+infty) ),(0 text( per ) x in (-infty,0) ):}$
Ora devo controllare se la convergenza è uniforme nei due casi, eventualmente restringendo x ad un opportuno intervallo di $RR-{0}$. Nel secondo caso per fortuna la funzione limite è limitata (e direi, è proprio costante ) mentre la $f_n$ no, dato che $lim_(x->-infty) f_n(x) = - infty$. Pertanto in questo caso non può esserci convergenza uniforme. Per il caso $x>0$ invece posso solo usare la definizione e vedere di calcolare $||f_n - f||_infty $.
Ho quindi da calcolare $text(sup){(1+x^2)/(nx) (ln(e^(nx)-nx) - nx)}, x in (0,+infty)$. Solo, come cavolo faccio?
2) Per questo esercizio ho un'ipotesi per cui però chiedo conferma a qualcuno più esperto. Applicando la sostituzione $y=arctg(sqrt(n)x))$, che è biettiva per $y in (-pi/2,pi/2)$, ottengo la serie di potenze $sum_(n = 1)^(+infty) k^n y^n $. Il suo raggio di convergenza è quindi $1/k$ (criterio di Cauchy-Hadamard, o criterio della radice per i fedelissimi) e da qui ottengo gli intervalli di convergenza per y. Applicando la sostituzione al contrario e risolvendo le disequazioni dovrei ottenere gli intervalli per x.
Mi confermate che si tratta di una procedura legittima?
Beh, come al solito grazie e punti paradiso a chiunque voglia aiutarmi