Una fatto base della teoria delle funzioni analitiche (i.e., quelle sviluppabili in serie di potenze intorno ad un punto) è che due funzioni analitiche coincidono se e solo se hanno i medesimi coefficienti di Taylor in uno stesso punto.
Nel tuo caso, supponi che la EDO \((1-x^2) y^{\prime \prime} (x) - 2xy^\prime (x) + k(k+1)y(x) = 0\) abbia una soluzione analitica intorno a \(0\), cioè che si possa trovare una soluzione nella forma \(y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) con la serie convergente in un conveniente intorno di \(0\), diciamo \(]-\rho , \rho[\).
In tal caso, i teoremi classici della teoria delle s.d.p. assicurano che intorno a \(0\) la funzione \(y(x)\) è derivabile quante volte si vuole e che:
\[
\begin{split}
y^\prime (x) &= \sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1} x^n\\
y^{\prime \prime} (x) &= \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n
\end{split}
\]
con sviluppi validi in \(]-\rho ,\rho[\).
Conseguentemente, la funzione \((1-x^2) y^{\prime \prime} (x) - 2xy^\prime (x) + k(k+1)y(x)\) è pure essa analitica intorno a \(0\) e si ha:
\[
\begin{split}
(1-x^2)\ y^{\prime \prime} (x) - 2x\ y^\prime (x) + k(k+1)\ y(x) &= (1-x^2) \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n - 2x\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1} x^n \\
&\phantom{=}+ k(k+1) \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \Big[ (n+2)(n+1)a_{n+2} + k(k+1) a_n\Big] x^n - \sum_{n=0}^\infty 2(n+1)a_{n+1} x^{n+1}\\
&\phantom{=} - \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n+2}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \Big[ (n+2)(n+1)a_{n+2} + k(k+1) a_n\Big] x^n - \sum_{n=1}^\infty 2n a_n x^n\\
&\phantom{=} - \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^n\\
&= \Big[2a_2 + k(k+1) a_0\Big] + \Big[6a_3 + k(k+1) a_1\Big] x \\
&\phantom{=} + \sum_{n=2}^\infty \Big[ (n+2)(n+1)a_{n+2} + k(k+1) a_n\Big] x^n - 2a_1 x\\
&\phantom{=} - \sum_{n=2}^\infty 2n a_n x^n - \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^n\\
&= \Big[2a_2 + k(k+1) a_0\Big] + \Big[6a_3 + k(k+1) a_1 - 2a_1\Big] x\\
&\phantom{=} + \sum_{n=2}^\infty \Big[ (n+2)(n+1)a_{n+2} + k(k+1) a_n - 2n a_n - n(n-1)a_n \Big] x^n
\end{split}
\]
con convergenza (almeno) in \(]-\rho, \rho[\).
Da ciò e dal fatto che la funzione nulla è analitica segue che la EDO \((1-x^2) y^{\prime \prime} (x) - 2xy^\prime (x) + k(k+1)y(x) = 0\) è soddisfatta solo se tutti i coefficienti delle potenze all'ultimo membro della catena precedente sono nulli: pertanto i coefficienti della serie sono legati dalle relazioni seguenti:
\[
\left\{ \begin{split} 2a_2 + k(k+1) a_0 &= 0 \\ 6a_3 + (k^2+k-2) a_1 &= 0 \\ (n+2)(n+1)a_{n+2} + k(k+1) a_n - n(n+1) a_n &= 0\end{split}\right.
\]
salvo errori di calcolo.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)