Appartenenza funzione allo Spazio di Sobolev

[AlyAly]

Ciao a tutti, io ho la seguente funzione
$f(x)=1$ per $x \in Omega=(-1,1) $
e considero il suo prolungamento a zero fuori da $Omega$, ovvero:
$ \bar f(x)={ ( f(x) \qquad x \in Omega ),( 0 \qquad x \in RR-Omega):} $
qualcuno mi può spiegare perchè $ \bar f(x)$ non appartiene allo spazio di Sobolev $W^{1,1}(RR)$?

[Rigel]

Risposta rapida: perché qualsiasi funzione di \(W^{1,1}(\mathbb{R})\) ammette un rappresentante (assolutamente) continuo.

[AlyAly]

Ma non basta che la funzione stia in $L^1$ come anche la sua derivata debole?o se no come faccio a verificare che la sunzione che ho scritto io non ammette un rappresentante assolutamente continuo?