Esercizio su un integrale

[Gold D Roger]

Dopo aver dimostrato che esiste finito, mi si chiede di calcolare questo integrale, però non so da dove iniziare
\( \int_{0}^{\pi} \frac{1}{cos^2x + sen(2x) + 1}\, dx \)

[tommik]

direi che è molto semplice

$int1/(cos^2x+sen(2x)+1)dx=int1/((cos(2x)+1)/2+sen(2x)+1)dx=int1/(cos(2x)+2sen(2x)+3)d(2x)=int1/(cosz+2senz+3)dz$

ora usiamo le formule parametriche ottenendo:

$int1/((1-t^2)/(1+t^2)+4t/(1+t^2))2/(1+t^2)dtint2/(1-t^2+4t)dt$

da qui riesci a proseguire?

[Gold D Roger]

Ciao, grazie per l'input, provavo a cercare di integrare per fratti semplici ($int A/(t+2+sqrt(5))dt+int B/(-t+2-sqrt(5))dt$ però poi mi è venuta un'altra idea , ma non so se esatta:


$ =2 int1/(1-t^2+4t)dt$

$t^2-4t-1=-4+(t-2)^2-1=(t-2)^2 -5=5[1-(t-2)^2/(5)]=5[1-((t-2)/(sqrt(5)))^2]$

$2/5 int 1 / (1-((t-2)/(sqrt(5)))^2)dt$

pongo $y=(t-2)/(sqrt(5))$

$2/5 int 1/(1-y^2)dy= $2/5 setttghy +c = 2/5 setttgh$((t-2)/(sqrt(5))) +c $ giusto?

EDIT: aggiunta la radice quadrata.

[tommik]

$5[1-(t-2)^2/(5)]=5[1-((t-2)/(5))^2]$

???

ma poi scusa...senza scomodare le funzioni iperboliche inverse non lo potevi fare per fratti semplici?

[Gold D Roger]

$5[1-(t-2)^2/(5)]=5[1-((t-2)/(5))^2]$

???

Sì, mi sono dimenticato la radice quadrata

[tommik]

così ad occhio mi pare che ti manchi ancora un $sqrt(5)$ per accordare il differenziale alla variabile

[Gold D Roger]

ma poi scusa...senza scomodare le funzioni iperboliche inverse non lo potevi fare per fratti semplici?

Sì, lo avevo aggiunto nella modifica del post, però mi sembrava più veloce in questo modo.

[tommik]

ma poi scusa...senza scomodare le funzioni iperboliche inverse non lo potevi fare per fratti semplici?

Sì, lo avevo aggiunto nella modifica del post, però mi sembrava più veloce in questo modo.

ok però prima sistema le costanti...sotto hai $(t-2)/sqrt(5)$ e il differenziale è $dt$. Deve diventare anche lui $d(t-2)/sqrt(5)$

[Gold D Roger]

ok però prima sistema le costanti...sotto hai $(t-2)/sqrt(5)$ e il differenziale è $dt$. Deve diventare anche lui $d(t-2)/sqrt(5)$

Non ho capito,

$int 1 / (1-((t-2)/(sqrt(5)))^2)dt = int 1/(1-y^2)dy$ in quanto $ y=(t-2)/(sqrt(5)) $, no?

[tommik]

ok però prima sistema le costanti...sotto hai $(t-2)/sqrt(5)$ e il differenziale è $dt$. Deve diventare anche lui $d(t-2)/sqrt(5)$

Non ho capito,

$int 1 / (1-((t-2)/(sqrt(5)))^2)dt = int 1/(1-y^2)dy$ in quanto $ y=(t-2)/(sqrt(5)) $, no?

no, per niente! $ y=(t-2)/(sqrt(5)) $ ma $dy!=dt$

$ y=(t-2)/(sqrt(5)) $ => $dy=dt/sqrt(5)$ => $dt=sqrt(5)dy$

quindi:

$int 1 / (1-((t-2)/(sqrt(5)))^2)dt =sqrt(5) int 1 / (1-((t-2)/(sqrt(5)))^2)d((t-2)/sqrt(5))=sqrt(5) int 1/(1-y^2)dy$


o no?