esercizio limite all esame di analisi

[eos.s]

Ciao, qualche settimana fa all' esame di analisi 1 ho incontrato questo limite:

$\lim_{x \to \0^-} (cos3x-cosx+4xsinx)/(3sinx5x-5sin3x+40x^3)$

Vorrei sapere quale sarebbe per voi il metodo migliore con cui risolverlo. Ho provato con taylor:

$cos3x= 1-9/2x^2+71/24x^4$

$cosx= 1- x^2/2+x^4/24$

$sinx= x-x^3/6+x^5/120$

$3sin5x= 15x-125x^3/2+3125x^5/40$

$-5sin3x= -15x+135x^3/6-1215x^5/40$

numeratore: $(1-9/2x^2+71/24x^4 - 1+ x^2/2-x^4/24+ 4x^2 - 2x^4/3+x^6/30) -> 7/3x^4$ per $x->0$

denominatore: $ ( 15x-125x^3/2+3125x^5/40-15x+135x^3/6-1215x^5/40+40x^3) -> 1920/40x^5$ per $x->0$

quindi: $\lim_{x \to \0^-} (7/3x^4)/( 1920/40x^5)= -\infty$ corretto?

[dan95]

In realtà credo che bastasse sviluppare solo i primi due termini di Taylor per il seno ($x+o(x)$) e il coseno ($1+o(x)$) per semplificare i conti

[eos.s]

giusto, potrei fare sempicemente:

$cos3x=1+o(x)$
$cosx=1+o(x)$
$senx=x+o(x)$
$sen5x=5x+o(x)$
$sen3x=3x+o(x)$

e diventa:

$\lim_{x \to \0^-} (1-1+4x^2)/(15x-15x+40x^3)=1/x= -\infty$