teorema uncità del limite per successioni

[eos.s]

ciao a tutti, non riesco a capire alcune cose di questa dimostrazione:

Supponiamo che $l_1, l_2$ siano limiti della successione$ \{a_n\}$. Mostreremo che $l_1 = l_2$ .

Per la definizione di limite, per ogni $\varepsilon> 0$ esistono $ N_1$ ed $N_2$ tali che

per ogni $i>N_1$ è vera $|a_i-l_1|<\varepsilon$ ,
e per ogni $i> N_2 $ è vera $|a_i-l_2|<\varepsilon$ .

Sia $ N$ il massimo tra $ N_1$ e $N_2$ . Allora per ogni $i > N $ abbiamo:

$ |l_1-l_2|\leq|l_1-a_i|+|a_i-l_2| <2\varepsilon $ per la disuguaglianza triangolare.

Quindi $ |l_1-l_2| <2\varepsilon$ per ogni $\varepsilon >0$ , e quindi $|l_1-l_2|=0$. Quindi $l_1 = l_2$


1) non ho ben chiaro come si arriva alla disuguaglianza triangolare "$ |l_1-l_2|\leq|l_1-a_i|+|a_i-l_2| <2\varepsilon $"

2) perche se $ |l_1-l_2| <2\varepsilon$ per ogni $\varepsilon >0$ allora $|l_1-l_2|=0$?

grazie mille in anticipo.

[alessandro8]

Ciao.

Cerco di rispondere ai due punti:

1) in generale la disuguaglianza triangolare prevede che $|x+y|<=|x|+|y| AA x,y in RR$; nel caso in questione si ha

$|l_1-l_2|=|(l_1-a_i)+(a_i-l_2)|<=|l_1-a_i|+|a_i-l_2| <2\varepsilon$

2) se vale $|l_1-l_2| <2\varepsilon$ con $epsilon$ arbitrariamente piccolo (e positivo), significa che l'unica possibilità è quella per cui $|l_1-l_2|=0$; se quest'ultima condizione non fosse vera, l'ipotesi $|l_1-l_2| <2\varepsilon$ verrebbe contraddetta.

Spero di aver chiarito.

Saluti.

[eos.s]

grazie della risposta.

Nel punto due dice che l unica possibilità è che $|l_1−l_2|=0$, non potrebbe essere invece $0<|l_1−l_2|<2ɛ$?

[alessandro8]

Nel punto due dice che l unica possibilità è che $|l_1−l_2|=0$, non potrebbe essere invece $0<|l_1−l_2|<2ɛ$?

Attenzione, in generale il valore assoluto di un numero reale è non negativo, per cui dovrebbe valere

$0<=|l_1−l_2|<2ɛ$

Come affermato prima, se $epsilon$ è un numero positivo piccolo a piacere, l'unica possibilità è quella per cui $|l_1-l_2|=0$, quindi $l_1=l_2$.

Saluti.

[eos.s]

tutto chiaro, grazie ancora

[alessandro8]

Di nulla.

Saluti.