Problemi di cauchy, stime a priori

[Qfwfq]

Salve a tutti, volevo chiedere aiuto al forum riguardo a un paio di equazioni differenziali che non riesco a trattare coi teoremi che conosco.
$ A{ ( y'=y|y|-t^2 ),( y(0)=0 ):}
\qquad
B{(y'=\frac{(y-t)^2}{t^2+1}),(y(0)=0):} $

Per il problema $A$ bisogna dimostrare che l'intervallo massimale di esistenza è della forma $(-\infty,b)$ e che $ lim_(t -> -\infty) y(t)=+\infty \quad lim_{x->b^-} y(t)=-\infty$. Analogamente nel $B$ bisogna caratterizzare l'intervallo masimale di esistenza e il comportamento della soluzione.

In generale per capire se la soluzione esplode in un tempo finito il mio approccio è cercare una sottosoluzione del problema di Cauchy che diverga in un tempo finito minorando l'espressione di $y'$ con un'equazione autonoma dato che tutti i teoremi in mio possesso per la stima dell'intervallo massimale di definizione riguardano equazioni autonome; c'è un altro modo possibile di procedere per le equazioni non autonome?
Per il problema $A$ avevo pensato di scrivere i primi termini della successione generata dal metodo di Peano-Picard (o con uno sviluppo in serie di Taylor) e far vedere che la soluzione ha un comportamento decrescente in un intorno destro di 0 quindi posso scrivere che $y'\le-y^2$ quindi la soluzione diverge in un tempo finito. Non riesco a capire come trattare rigorosamente il problema all'indietro ne come affrontare il problema $B$

[Luca.Lussardi]

per il problema A all'indietro mi pare che basta che osservi che la soluzione massimale non puo' incontrare la retta $y=-t$ e ci deve star sotto, per cui e' prolungabile e $-\infty$. Mi sembra che quasi la stessa osservazione la puoi usare per il problema B, la retta $y=t$ e' di punti stazionari...