Dominio e gradiente di una funzione a due variabili

[matematico2015]

Buon pomeriggio e Buona Domenica a tutti,

Cortesemente chiedo alcune delucidazioni su dei semplici quesiti...

1)Quando dobbiamo calcolare il dominio di una funzione a due variabili tipo f(x,y) =(x+y)(9-x^2-y^2)
oppure f(x,y) $ -3x+2y+6 $ / 4-x^2-y^2
come faccio ? che condizioni devo porre ?
Nel primo forse maggiore di zero ? perchè ?

Nel secondo denominatore diverso da zero ? e poi ?


2)Quando devo calcolare le derivate parziali e capita che devo applicare la regola di derivazione di una funzione per una costante ,cosa devo prendere in considerazione ? tutto il risultato oppure solo una delle due ?

Ad esempio facendo la derivata parziale di x e derivando "2xy", applicando la formula di derivazione di sopra mi viene fuoiri "2y+2x"--devo prendere tutto il risultato ? che poi prendedolo rimarrebbe per logica solo 2x che derivato a sua volta ( se si deve derivare) viene "2"..


Spero di esser stato chiaro e vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto e le risposte

[alessandro8]

Ciao.

Per trovare il campo di esistenza $D$ di una funzione di due variabili indipendenti, si pongono condizioni analoghe a quelle delle funzioni tradizionali di una variabile indipendente; l'unica differenza consiste nel fatto che si devono risolvere equazioni e/o disequazioni rispetto alle due variabili $x,y$, per cui l'insieme $D$, in generale, è costituito da una porzione di piano.

Esempi proposti:

a) $f(x,y) =(x+y)(9-x^2-y^2)$

In questo caso non occorre porre condizioni restrittive, visto che la funzione non ha problemi di esistenza; quindi si ha $D=RR^2$.

b) Immaginando che si volesse intendere

$f(x,y)=(-3x+2y+6)/(4-x^2-y^2)$

in questo caso basterà porre il denominatore diverso da zero:

$4-x^2-y^2!=0 Rightarrow x^2+y^2!=4$

per cui il campo di esistenza $D$ è costituito da tutti i punti del piano $Oxy$ non appartenenti alla circonferenza centrata in $O$ e avente raggio $2$.

Riguardo alle derivate parziali, le regole di derivazione sono analoghe a quelle delle derivate ordinarie, con l'aggiunta che, quando si calcola la derivata parziale di una funzione rispetto ad una variabile, si opera il calcolo trattando tutte le altre variabili come se fossero costanti; esempi (semplici):

1) $f(x,y)=2xy$

${((delf)/(delx)=2y),((delf)/(dely)=2x):}$

2) $f(x,y)=x^2y$

${((delf)/(delx)=2xy),((delf)/(dely)=x^2):}$

Spero di aver contribuito al chiarimento dei dubbi.

Saluti.

[matematico2015]

Ciao, grazie mille per avermi risposto !!!

Per le derivate parziali

nel primo caso quando derivi 2xy per x , e quindi fai il calcolo della derivata per una costante che viene in toto - 2y+2x. perchè prendi 2y invece che 2x ?

o perchè non prendi tutti e due ?

[alessandro8]

Ciao.

Nella funzione $f(x,y)=2xy$, volendo derivare (parzialmente) rispetto a $x$, la variabile $y$ va trattata come se fosse una costante (moltiplicativa); tenendo conto che la derivata del prodotto costante-funzione si calcola moltiplicando la costante per la derivata della funzione, si ha:

$f(x,y)=2xy=(2y)*x Rightarrow (delf)/(delx)=2y*(delx)/(delx)=2y*1=2y$

mentre, derivando (parzialmente) rispetto a $y$ si ha:

$f(x,y)=2xy=(2x)*y Rightarrow (delf)/(dely)=2x*(dely)/(dely)=2x*1=2x$

Vediamo un ulteriore facile esempio:

$f(x,y)=x^2+y^3+x+4y+xy$

Si ha:

${((delf)/(delx)=2x+0+1+4*0+1*y=2x+1+y),((delf)/(dely)=0+3y^2+0+4*1+x*1=3y^2+4+x):}$

Ho meglio chiarito?

Saluti.