da Meringolo » 09/08/2015, 08:51
Allora, la serie data, tramite il cambiamento di base dei logaritmi diventa:
$sum_(n=1)^inftylog_e(n^2+3n+2)/(2n+3)^(alpha-3)$ a meno di una costante che possiamo trascurare.
Per il primcipio di sostituzione degli ordini di infinitesimi, la serie è circa
$~~sum_(n=1)^infty log(n^2)/n^(alpha-3)$
Applico il criterio di condensazione
$=sum_(k=1)^infty 2^k log(2^(2k))/2^(k(alpha-3))$
$= sum_(k=1)^infty k2^k log(2)/2^(alpha k - 3 k)$
$~~ sum_(k=1)^infty (k2^k) /2^(alpha k - 3 k)$
$= sum_(k=1)^infty k2^(k(4-alpha) )$
e questa converge non appena $alpha>4$ in quanto
$sum_(k=1)^infty k/2^(betak)$ converge per $beta>0$
Allora la serie diverge per $alpha<=4$ e converge per $alpha >4$
Stay hungry, stay foolish