Ciao a tutti,
potreste aiutarmi, per favore, a capire dove sbaglio e come procedere con questi quattro esercizi?
Primo esercizio.
$\sum_{n=1}^{+\infty} (n!n^3)/n^n$
È una serie a termini positivi.
Essendoci un fattoriale provo a studiarla utilizzando il criterio del rapporto.
$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)(n)!(n+1)^3)/((n+1)(n+1)^n) * n^n / (n!n^3)$
$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)/n)^3 * ((n+1)/n)^n$
$ \lim_{n \to +\infty} (1+1/n)^3 * (1+1/n)^n = \lim_{n \to +\infty} (n!n^3)/n^n=1$
Il criterio del rapporto non consente di determinare il carattere della serie.
In questi casi poi come si procede? C’è un altro modo per determinare il carattere della serie oppure l’esercizio è concluso?
Seconda esercizio.
$\sum_{n=1}^{+\infty} sqrt(n)-sqrt(n-1)$
Procedo con la razionalizzazione inversa e calcolo il limite.
$ \lim_{n \to +\infty} sqrt(n)-sqrt(n-1) = \lim_{n \to +\infty} 1/ (sqrt(n)-sqrt(n+1)) $
Il limite è infinitesimo, quindi è rispettata la condizione necessaria di Cauchy affinchè una serie converga.
Il denominatore mi ricorda la serie telescopica $\sum_{n=1}^{+\infty} (a_n – a_(n+k)) $.
Se il mio ragionamento fosse corretto la serie dovrebbe convergere.
Purtroppo, sto commettendo un errore, in quanto, da risultato dell’esercizio, la serie diverge.
Cosa sbaglio?
Terzo esercizio
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (cos^2 (1/n)) / n $
La mia idea era quella di applicare il criterio di Leibniz in quanto è una serie a segni alterni, per la presenza di $(-1)^n$, e inoltre $(cos^2 (1/n)) / n >=0$
Per far ciò, controllo se il limite della successione è infinitesimo.
$ \lim_{n \to +\infty} (cos^2 (1/n)) / n $
Non esistendo al numeratore il limite di $cos^2 (1/n)$ in quanto limitato ai valori $[0,1] $
$\lim_{n \to +\infty} (cos^2 (1/n)) / n = 0 $
$\lim_{n \to +\infty} cos^2 (1/n) ~ lim_{n \to +\infty} 1/n $
Ora poiche $n+1>n$ allora $1/(n+1) < 1/n $ quindi $b_(n+1)<=b_n$ e per il teorema di Leibniz la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (cos^2 1/n) / n $ è convergente.
È corretto?
Infine il quarto e ultimo esercizio è il seguente.
$\sum_{n=1}^{+\infty} (n^n/(2^n*n!))^n $
Il problema principale che ho incotrato è l'esponente.
Non applico il teorema della radice in quanto mi ritroverei comunque con un fattoriale al denominatore.
L’approccio che ho adottato è quello innanzitutto di stabilire il carattere della serie presente tra le due parentesi, quindi di $n^n/(2^n*n!)^$
Per farlo, applico il criterio del rapporto.
$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)^n(n+1))/(2*2^n *(n+1)(n)!)/ ((n^n)/(2^n*n!)) = \lim_{n \to +\infty} 1/2 * ((n+1)/n)^n = \lim_{n \to +\infty}1/2 (1+ 1/n)^n = e/2$
$ e/2 >1$
Ora se non ci fosse $n$ come esponente potrei concludere che la serie diverge, ma poiché l’esponente c’è come devo continuare?
Il limite della serie, come visto, non è infinitesimo quindi la condizione di Cauchy non sarebbe comunque rispettata. Inoltre al denominatore ho $n^n$ che tra gli ordini di infinito è quello che diverge più velocemente. Nonostante queste considerazioni, come detto, mi manca il passo successivo per concludere l'esercizio.
Grazie a tutti per l’aiuto.