I controesempi qui proposti potranno riguardare, e.g., la topologia della retta reale o dello spazio numerico reale \(N\)-dimensionale, la teoria dei limiti, la teoria delle funzioni continue, il Calcolo differenziale ed Integrale (secondo Riemann) per funzioni di una o più variabili, le serie numeriche e di funzioni, le equazioni differenziali, il Calcolo Integrale su varietà monodimensionali e bidimensionali (i.e., integrali curvilinei e di superficie).
Tuttavia, saremo ben lieti di accogliere controesempi dalle varie branche di Analisi Superiore che possano interessare una (più o meno) vasta platea di studenti.
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Le finalità di un controesempio sono, a nostro parere, principalmente due:
- quella di delimitare con precisione i margini di validità di un teorema o di una teoria (e.g., mostrando che le ipotesi del teorema sono ottimali, cioé non possono essere indebolite senza minare la validità del teorema stesso);
- quella di dimostrare che due o più concetti definiti in maniera diversa (seppur molto simili, o legati da qualche teorema) sono concetti distinti.
Per comprendere questa posizione logico-filosofica, il lettore potrà (se vuole) meditare sui due passi seguenti, ognuno relativo ad una delle finalità indicate sopra.
1. Sulle funzioni a derivata nulla in un intervallo.
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Un classico teorema di Calcolo Differenziale asserisce che ogni funzione avente derivata prima nulla in un intervallo è ivi costante: per la precisione si ha:
Evidentemente, dato che il teorema appena enunciato è dimostrato/dimostrabile, è inutile sforzarsi a trovarvi dei controesempi: si andrebbe incontro a sicuro fallimento.
Ciò nonostante, viene lecito chiedersi se è possibile eliminare/indebolire qualche ipotesi del teorema conservandone la validità.
Tra le ipotesi del teorema, quella che sembra plausibilmente troppo forte è l'ipotesi sulla geometria dell'insieme di definizione della funzione \(f\), i.e. l'ipotesi "\(I\) è un intervallo". Infatti, sembrerebbe che le caratteristiche topologiche/geometriche di \(I\) entrino in gioco nel teorema solo attraverso la definizione di derivabilità, che è ben posta solo nei punti interni.
Quindi sembrerebbe che l'ipotesi geometrica forte "\(I\) è u intervallo" possa essere rimpiazzata da qualcuna più debole, come ad esempio la:
(H) "tutti i punti di accumulazione per \(I\) sono pundi di accumulazione per i punti interni ad \(I\)".
Si noti che la (H) è strettamente più debole della prima, poichél'insieme \(I=[-1,0[\cup ]0,1[\) non è un intervallo ma soddisfa ugualmente la (H).
Perciò si sarebbe portati a formulare una congettura del tipo:
Ebbene questa congettura non esprime una verità matematica, cioé non può essere trasformata in un teorema mediante una dimostrazione.
Per lumeggiare tale circostanza, è fondamentale il seguente:
Controesempio (alla congettura!):
Prendiamo \(I=[-1,0[\cup ]0,1[\) e definiamo:
\[
f(x):= \begin{cases} -1 &\text{, se } -1\leq x<0\\
1 &\text{, se } 0<x<1\; .
\end{cases}
\]
Chiaramente \(f\) è continua in \(I\) e derivabile nel suo interno (cioé in \(]-1,0[\cup ]0,1[\)) e si ha:
\[
f^\prime (x) = 0
\]
nell'interno di \(I\)... Tuttavia \(f\) non è costante in \(I\), come asserito dalla congettura!
Quindi la congettura è da rifiutare, perché asserisce (almeno in un caso) una cosa falsa.
Quanto appena mostrato aiuta a comprendere che l'ipotesi geometrica ritenuta forzata all'inizio, i.e. "\(I\) è un intervallo", è una parte essenzial del teorema e che essa non può essere indebolita senza pregiudicare la validità del teorema stesso.
Il Controesempio, perciò, ha mostrato un limite della nostra teoria... Quale?
Quello che non è possibile dimostrare un teorema del tipo \(f^\prime (x)=0\ \Rightarrow\ f(x)=\text{cost.}\) senza fare ipotesi di natura geometrica ben precisa sull'insieme di definizione e di derivabilità di \(f\), i.e. che il teorema riportato sopra non è ulteriormente generalizzabile.
Siano \(I\) un intervallo e \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione continua in \(I\) e derivabile nell'interno di \(I\).
Se \(f^\prime (x)=0\) internamente ad \(I\) allora \(f\) è costante i \(I\), cioé esiste \(c\in \mathbb{R}\) tale che \(f(x)=c\) in tutto \(I\).
Evidentemente, dato che il teorema appena enunciato è dimostrato/dimostrabile, è inutile sforzarsi a trovarvi dei controesempi: si andrebbe incontro a sicuro fallimento.
Ciò nonostante, viene lecito chiedersi se è possibile eliminare/indebolire qualche ipotesi del teorema conservandone la validità.
Tra le ipotesi del teorema, quella che sembra plausibilmente troppo forte è l'ipotesi sulla geometria dell'insieme di definizione della funzione \(f\), i.e. l'ipotesi "\(I\) è un intervallo". Infatti, sembrerebbe che le caratteristiche topologiche/geometriche di \(I\) entrino in gioco nel teorema solo attraverso la definizione di derivabilità, che è ben posta solo nei punti interni.
Quindi sembrerebbe che l'ipotesi geometrica forte "\(I\) è u intervallo" possa essere rimpiazzata da qualcuna più debole, come ad esempio la:
(H) "tutti i punti di accumulazione per \(I\) sono pundi di accumulazione per i punti interni ad \(I\)".
Si noti che la (H) è strettamente più debole della prima, poichél'insieme \(I=[-1,0[\cup ]0,1[\) non è un intervallo ma soddisfa ugualmente la (H).
Perciò si sarebbe portati a formulare una congettura del tipo:
Siano \(I\) un insieme che soddisfa la (H) e \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione continua in \(I\) e derivabile nell'interno di \(I\).
Se \(f^\prime (x)=0\) internamente ad \(I\) allora \(f\) è costante i \(I\), cioé esiste \(c\in \mathbb{R}\) tale che \(f(x)=c\) in tutto \(I\).
Ebbene questa congettura non esprime una verità matematica, cioé non può essere trasformata in un teorema mediante una dimostrazione.
Per lumeggiare tale circostanza, è fondamentale il seguente:
Controesempio (alla congettura!):
Prendiamo \(I=[-1,0[\cup ]0,1[\) e definiamo:
\[
f(x):= \begin{cases} -1 &\text{, se } -1\leq x<0\\
1 &\text{, se } 0<x<1\; .
\end{cases}
\]
Chiaramente \(f\) è continua in \(I\) e derivabile nel suo interno (cioé in \(]-1,0[\cup ]0,1[\)) e si ha:
\[
f^\prime (x) = 0
\]
nell'interno di \(I\)... Tuttavia \(f\) non è costante in \(I\), come asserito dalla congettura!
Quindi la congettura è da rifiutare, perché asserisce (almeno in un caso) una cosa falsa.
Quanto appena mostrato aiuta a comprendere che l'ipotesi geometrica ritenuta forzata all'inizio, i.e. "\(I\) è un intervallo", è una parte essenzial del teorema e che essa non può essere indebolita senza pregiudicare la validità del teorema stesso.
Il Controesempio, perciò, ha mostrato un limite della nostra teoria... Quale?
Quello che non è possibile dimostrare un teorema del tipo \(f^\prime (x)=0\ \Rightarrow\ f(x)=\text{cost.}\) senza fare ipotesi di natura geometrica ben precisa sull'insieme di definizione e di derivabilità di \(f\), i.e. che il teorema riportato sopra non è ulteriormente generalizzabile.
2. Sulla differenza tra continuità e derivabilità.
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Due noti concetti di Analisi sono quelli di derivabilità e di continuità in un punto.
Essi si definiscono come segue:
Una delle primissime conseguenze che discendono dalla definizione di derivabilità è il seguente teorema:
Quindi la proprietà di derivabilità è più forte di quella di continuità... Ma non potrebbero essere tali due proprietà equivalenti?
In altri termini, si potrebbe congetturare che oltre all'implicazione \(f\text{ derivabile in }x_0\ \Rightarrow\ f\text{ continua in } x_0\) (sancita dal teorema precedente) valga pure l'inversa, cioé \(f\text{ derivabile in }x_0\ \Leftarrow\ f\text{ continua in } x_0\); in tal caso, le due nozioni di derivabilità e di continuità, seppure definite in maniera diversa, sarebbero del tutto equivalenti (nel senso che esse individuerebbero la medesima classe di funzioni).
Ma questa congettura può essere smontata 365 giorni l'anno con il seguente:
Controesempio (alla congettura!):
Siano \(I=[-1,1]\), \(f:I\ni x\mapsto |x|\in \mathbb{R}\) ed \(x_0=0\).
I tre oggetti \(I\), \(f\) ed \(x_0\) soddisfano le ipotesi del teorema precedente, però \(f\) è continua in \(x_0\) pur non essendo ivi derivabile, perché il limite:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{|x|}{x}
\]
non esiste finito.
Quindi la proprietà di derivabilità è ben distinta da quella di continuità, ed è "più forte" di quest'ultima (nel senso che la derivabilità è soddisfatta da "molte meno funzioni" rispetto alla continuità).
Essi si definiscono come segue:
Siano \(I\) in insieme non vuoto, \(f:I\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\in I\) un p.d.a. per \(I\).
Si dice che \(f\) è continua in \(x_0\) se risulta:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x) =f(x_0)\; .
\]
Se \(x_0\) è interno, si dice che \(f\) è derivabile in \(x_0\) se risulta finito il:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\; ;
\]
in tal caso il valoe di tale limite si chiama derivata di \(f\) in \(x_0\) e si denota con \(f^\prime (x_0)\).
Una delle primissime conseguenze che discendono dalla definizione di derivabilità è il seguente teorema:
[/quote]Siano \(I\) un insieme non vuoto, \(f:I\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\in I\) un punto interno.
Se \(f\) è derivabile in \(x_0\), allora \(f\) è continua in \(x_0\).
Quindi la proprietà di derivabilità è più forte di quella di continuità... Ma non potrebbero essere tali due proprietà equivalenti?
In altri termini, si potrebbe congetturare che oltre all'implicazione \(f\text{ derivabile in }x_0\ \Rightarrow\ f\text{ continua in } x_0\) (sancita dal teorema precedente) valga pure l'inversa, cioé \(f\text{ derivabile in }x_0\ \Leftarrow\ f\text{ continua in } x_0\); in tal caso, le due nozioni di derivabilità e di continuità, seppure definite in maniera diversa, sarebbero del tutto equivalenti (nel senso che esse individuerebbero la medesima classe di funzioni).
Ma questa congettura può essere smontata 365 giorni l'anno con il seguente:
Controesempio (alla congettura!):
Siano \(I=[-1,1]\), \(f:I\ni x\mapsto |x|\in \mathbb{R}\) ed \(x_0=0\).
I tre oggetti \(I\), \(f\) ed \(x_0\) soddisfano le ipotesi del teorema precedente, però \(f\) è continua in \(x_0\) pur non essendo ivi derivabile, perché il limite:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{|x|}{x}
\]
non esiste finito.
Quindi la proprietà di derivabilità è ben distinta da quella di continuità, ed è "più forte" di quest'ultima (nel senso che la derivabilità è soddisfatta da "molte meno funzioni" rispetto alla continuità).
Da quanto scritto qui sopra emerge chiaramente l'importanza del ruolo del controesempio in Analisi.
Non riconoscere tale importanza, e ridurre il controesempio ad un orpello della teoria, è molto grave... Ma ancora più grave è non dedicare alla costruzione di controesempi il giusto tempo ed il giusto impegno, in aula e fuori.
Per questo motivo, la moderazione della stanza di Analisi ha pensato di istituire questo thread.
L'idea è creare un serbatotio che raccolga materiale relativo a numerosi controesempi, dal quale attingere per integrare quelli già presenti sui testi e/o già presentati a lezione.
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Buona lettura a tutti.
P.S.:
Moderatore: gugo82
Per mantenere ordinato il thread, consiglio a chiunque abbia da fare osservazioni sul contenuto o sul formato dei post qui presentati di contattare direttamente gli autori in PM.
Grazie per la collaborazione.
Grazie per la collaborazione.
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* Con la locuzione "Analisi di base" vogliamo intendere quella abbracciata dai classici programmi di Analisi I e II dei più comuni corsi universitari.