limite

da **NOKKIAN80_** » 14/10/2006, 18:51

è già fatta.
il teorema dice che
$lim_(x->x_0)f(x)=l
se e solo se per ogni successione a valori in $X\\{x_0}$ convergente ad $x_0
si ha $lim_(n->+oo)f(a_n)=l

io allora prendo la successione $pin$ che diverge a più infinito (ipotesi del teorema soddisfatta)
e $lim_(n->+oo)sinnpi=0
presa un'altra qualunque successione, ad esempio $b_n:={pi/2+2npi}_(n in NN)
$lim_(n->+oo)sin(b_n)=1

entrambe le successioni divergono ad x_0 ma esiste una successione tale che il limite della composta è diverso dal limite della composta di un'altra successione
e il teorema dice che quando ciò accade il limite in questione non esiste

ma sia chiaro, non me lo sono inventato io. sta scritto sul libro

da **Fioravante Patrone** » 14/10/2006, 19:21

appunto, come diceva Luca, non è facile dimostrare che $lim_{n -> oo} \sin (n)$ non esiste

è cosa ben diversa dal dimostrare che $lim_{x -> oo} \sin (x)$ non esiste (questo è banale)

naturalmente stiamo tutti assumendo qui che $n$ sia una variabile a valori in $NN$ :-D

da **NOKKIAN80_** » 14/10/2006, 20:13

ahahah luca mi stava prendendo in giro!!

il teorema ponte ovviamente dimostra solo l'esistenza di limiti di funzioni

da **Fioravante Patrone** » 14/10/2006, 20:31

falso anche questo :-D

il "teorema ponte" (ma chi lo chiama così? E, soprattutto, perché?) può anche essere applicato ai limiti di successioni. Ovviamente.

La differenza tra limiti di funzioni e limiti di successioni è grande nella testa degli studenti, ma in realtà si tratta quasi di gemelli omozigoti

Intanto euler aspetta.
Ma uno con un nick come il suo può aspettare, no?

da **NOKKIAN80_** » 14/10/2006, 20:39

non so. sul libro che sto studiando adesso parla di funzione come ipotesi del teorema, ma io sono solo un piccolo studente ultimo arrivato

da **euler** » 14/10/2006, 20:43

si certo,posso aspettare!!

da **Fioravante Patrone** » 14/10/2006, 20:53

@euler

provo con un suggerimento (ma serve poi un bel po' di olio di gomito)

la successione dei numeri naturali $1,2,3,\ldots$ ogni 6-7 numeri na ha uno che va a cadere tra $\pi/2 - 0.51$ e $\pi/2 + 0.51$ (modulo $2k\pi$). Idem, sempre ogni 6-7 numeri ce n'é uno che cade fra $-\pi/2 -0.51$ e $-\pi/2 + 0.51$ (sempre modulo $2k\pi$!!!).
Quindi dalla successione $\sin n$ puoi estrarre due sottosuccessioni, una fatta di numeri maggiori o uguali si $\sin (\pi/2 - 0.51)$, che è un numero strettamente positivo, ed una di numeri minori o uguali di $\sin (-\pi/2 - 0.51)$, che è un numero strettamente negativo.

Ergo, la successione data non può convergere (le due sottosuccessioni trovate dovrebbero convergere allo stesso limite, ma questo non è possibile).

s.e.o.

da **Luca.Lussardi** » 15/10/2006, 08:02

E comunque, micheletv, le successioni sono funzioni, per definizione definite in $\NN$.

da **Fioravante Patrone** » 15/10/2006, 08:26

Luca,
tu sai perché si chiama "teorema ponte"?
Non riesco ad immaginare perché abbia questo nome.
Forse è un "ponte" fra successioni e funzioni, visto che si tratta della caratterizzazione del limite mediante successioni?

Ma chi è che ha inventato questo brutto nome?
Qualcuno ne sa qualcosa?

Ciao e buona domenica
Fioravante

da **NOKKIAN80_** » 15/10/2006, 09:59

comunque come ha detto fioravante, la versione del teorema ponte per le successioni è la seguente:

Teorema: una successione ha limite $l in RR^*$ se e solo se ogni sua sottosuccessione ha limite l

limite

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