teorema di weierstrass

[piero1987]

Ciao a tutti.
mi potete aiutare con questo esercizio

Enunciare il teorema di weierstrass. Dire per quali valori di $ alpha $ $ in R $ il teorema è applicabile alla funzione

$ f(x)={ ( alpha +x ),(cospi x ):} $ $ { ( 1<= x<= 3/2 ),(3/2 < x <= 2 ):} $
nell'intervallo [ 1, 2 ]
(Ps: scusate non sono riuscito a metterli sotto insieme.)

determinare inoltre il massimo e il minimo assoluto di f.

Io ho risolto in questo modo:

Il teorema di weierstrass dice che:
Sia f una funzione continua in un intervallo (a, b) allora f(x) assume massimo e minimo assoluto nell'intervallo (a, b).

per prima cosa mi sono trovato il valore $ alpha$ che renda continua la funzione nell'intervallo [1, 2]
$ f(3/2)= alpha +3/2; $
$ lim_(x -> 3/2 +) cos (3/2pi)= 0 $
$ lim_(x -> 3/2 -) alpha+3/2 $
$ alpha+3/2=0 $
la funzione è continua per valori di $ alpha= - 3/2 $

Ho fatto bene fin'ora?

come faccio a calcolarmi il massimo e il minimo assoluto?
Solitamente per trovarmi i punti di massimo e minimo faccio la derivata prima; in questo caso quale funzione prendo?

[axpgn]

Quella che hai
La funzione è una sola però definita differentemente nei due intervalli del dominio; quindi la derivata che otterrai sarà definita differentemente nei due intervalli e poi prosegui come al solito ...

[stormy]

ovviamente devi considerare la funzione nella sua totalità e non è difficile vedere che è strettamente crescente

[piero1987]

Quella che hai
La funzione è una sola però definita differentemente nei due intervalli del dominio; quindi la derivata che otterrai sarà definita differentemente nei due intervalli e poi prosegui come al solito ...

quindi dovrò fare la derivata prima di $ -3/2 +x $ e di $ cos(3/2 pi) $ ??

[axpgn]

Sì ... cioè aspetta la seconda è $cos(pix)$ cosa c'entra quello che hai scritto ?

[piero1987]

Sì

$ f'(x+alpha )= 1 $
$ f'(cospix)=0 $

da qui posso vedere che la funzione è crescente, ma non qual'è il punto di massimo

[axpgn]

Allora la funzione, per il primo intervallo, è $x-3/2$ e la sua derivata è $1$. Nell'altro intervallo la funzione è $cos(pi*x)$ la cui derivata è $-pi*sen(pix)$. Dove si annullano queste derivate ? La prima mai, la seconda quando $pi*x+k*pi=0$ cioè quando $x+k=0$ e in pratica nell'intervallo che ci riguarda solo nell'estremo $2$. Quindi non si annulla mai nei punti interni e i nostri massimi e minimi saranno negli estremi (verifica)

[piero1987]

la seconda quando $pi*x+k*pi=0$ cioè quando $x+k=0$ e in pratica nell'intervallo che ci riguarda solo nell'estremo $2$. Quindi non si annulla mai nei punti interni e i nostri massimi e minimi saranno negli estremi (verifica)

perchè in 2? come fa ad azzerarsi in 2?

[axpgn]

Secondo te quanto vale $-pi*sen(2pi) $? Si parla della derivata, dove si annulla la derivata non la funzione ...

[piero1987]

Secondo te quanto vale $-pi*sen(2pi) $? Si parla della derivata, dove si annulla la derivata non la funzione ...

il seno di $2pi$ è uguale a zero