Esercizi Spazi Metrici

[Bad90]

La seconda che hai scritto, l'ho vista a riguardo del "prodotto interno" (o "prodotto scalare" o "dot product") definito per uno spazio vettoriale ed in sostanza dice che il valore assoluto del prodotto interno di due vettori è inferiore o uguale al prodotto della norma dei due vettori.

Cordialmente, Alex

Ok, perfetto per la seconda, mentre per la prima aspettiamo il parere di qualcuno!

[Bad90]

Questa è la formula:

$ sum_(i=1)^(N) |s_it_i|<=1/2sum_(i=1)^(N)(s_i^2 + t_i^2) $
$ sum_(i=1)^(N)|s_it_i|<=(sum_(i=1)^(N)s_i^2)^(1/2)(sum_(i=1)^(N)t_i^2)^(1/2) $

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Se $x$ ed $y$ sono due vettori di uno spazio vettoriale euclideo, allora il valore assoluto del prodotto scalare di $x$ per $y$ è minore o uguale del prodotto dei loro moduli, uguale se e soltanto se $x$ ed $y$ sono linearmente dipendenti.


$|x⋅y|≤∥x∥∥y∥$

Esposta nel modo che ho scritto, risulta facile comprenderla, e penso che questa disuguaglianza sia proprio la prima formula $ sum_(i=1)^(N) |s_it_i|<=1/2sum_(i=1)^(N)(s_i^2 + t_i^2) $ , vero?

Adesso mi chiedo.....
Ma questa prima formula $ sum_(i=1)^(N) |s_it_i|<=1/2sum_(i=1)^(N)(s_i^2 + t_i^2) $ , qualcuno la conosce? Potreste per favore aiutarmi a comprendere il suo significato???
Come ci si arriva a scriverla in quel modo???

[dissonance]

Ma che c'entra questa roba con l'esercizio del primo post?

Comunque, purtroppo hai sbagliato, la disuguaglianza $|x\cdot y| \le || x||\cdot ||y||$ , quando $x=(s_1\ldots s_n)$ e $y=(t_1\ldots t_n)$, diventa
\[
\left\lvert\sum_{j=1}^n s_j t_j\right\rvert \le \left( \sum_{j=1}^n s_j^2\right)^{\frac{1}{2}}\left( \sum_{j=1}^n t_j^2\right)^{\frac{1}{2}}.\]
Per capire l'altra disuguaglianza, prova prima a scriverla per \(n=1\). La formula
\[
(s-t)^2\ge 0 \]
ti dice niente?

In ogni modo qui sei OT. Se hai altri dubbi su queste cose devi aprire un altro topic. Ma se posso permettermi un consiglio, prima di postare sui forum dovresti riflettere un po' di più da solo. (Ultimamente sto arrivando alla conclusione che questi forum siano molto meno utili di quanto non sembri.)

[Bad90]

In ogni modo qui sei OT. Se hai altri dubbi su queste cose devi aprire un altro topic. Ma se posso permettermi un consiglio, prima di postare sui forum dovresti riflettere un po' di più da solo. (Ultimamente sto arrivando alla conclusione che questi forum siano molto meno utili di quanto non sembri.)

A mio parere non è come dici!
Io è da anni che frequento questo forum, ci sono persone veramente specializzate e che io rispetto veramente un sacco!
E' un forum nella quale persone ci fanno domande e persone scrivono delle risposte, ci sono persone che sanno e persone che ne sanno meno, lo scambio di opinioni, le domande e le risposte fanno crescere .......

Io sono uno studente lavoratore, lavoro in un contesto aziendale a livelli mondiali, ho a che fare con molte persone e molte volte ci sono persone che fanno domande che potrebbero sembrare stupide, ma permettimi di dirti che io non mi sognerei mai di dire che il mio contesto lavorativo sarebbe "molto meno utile di quanto non sembri".

P.S. Dico questo amichevolmente e spero non ti sia inteso come una risposta arrogante

[dissonance]

Mi dispiace, per come mi sono espresso ho lasciato intendere un messaggio assolutamente odioso e sono contento tu non te la sia presa. Non penso affatto che i forum non siano utili perché non mi piacciono le domande che poni né per nessun altro motivo collegato a te. Infatti è una riflessione che faccio su me stesso e sul bilancio

$
"tempo e concentrazione persi"/"effettivi guadagni ottenuti frequentando forum"$

[Bad90]

Ma che c'entra questa roba con l'esercizio del primo post?

Comunque, purtroppo hai sbagliato, la disuguaglianza $|x\cdot y| \le || x||\cdot ||y||$ , quando $x=(s_1\ldots s_n)$ e $y=(t_1\ldots t_n)$, diventa
\[
\left\lvert\sum_{j=1}^n s_j t_j\right\rvert \le \left( \sum_{j=1}^n s_j^2\right)^{\frac{1}{2}}\left( \sum_{j=1}^n t_j^2\right)^{\frac{1}{2}}.\]
Per capire l'altra disuguaglianza, prova prima a scriverla per \(n=1\). La formula
\[
(s-t)^2\ge 0 \]
ti dice niente?

Allora, vediamo se ho compreso la domanda....
$ sum_(i=1)^(n) |a_ib_i|<=(sum_(i=1)^(n) a_i^2 )^(1/2) (sum_(i=1)^(n)b_i^2)^(1/2) $
E si tratta di $a_i$ ed $b_i$ che sono due vettori di uno spazio vettoriale euclideo, allora il valore assoluto del prodotto scalare di $a_i$ per $b_i$ è minore o uguale del prodotto dei loro moduli, uguale se e soltanto se $a_i$ ed $b_i$ sono linearmente dipendenti.
Adesso ho trovato una dimostrazione sul mio testo che dice:

Si ha, $AA t in R$ : $sum_(i=1)^(n)(a_i + tb_i)^(1/2) >=0$

Solo che mi soffermo quì perchè non sto capendo cosa è questo $t$ ???

[Bad90]

Ho il seguente esercizio 2.4.

Per $x=(x_1, x_2); y=(x_1,y_2) in R^2$, poniamo:

$d'(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2-y_2|$
$d''(x,y) = max {|x_1 - y_1| + |x_2-y_2|}$

Verificare che $d'$ e $d''$ sono metriche in $R^2$. Rappresentare graficamente in un riferimento cartesiano il cerchio $0=(0,0) $ e raggio$1$, relativo ai tre spazi metrici $(R^2,d_2) $, $(R^2,d') $, $(R^2,d'') $, ( ove$ d_2$ e' la metrica euclidea).


Ma come si risolve?????

[axpgn]

Per verificare se sono metriche non devi fare altro che applicare le condizioni già dette alle formule in questione.
Per "cerchio" penso intendi l'intorno circolare e quindi devi disegnare tali intorni con centro nell'origine e raggio $1$; ovviamente i tre disegni sono diversi
Sei sicuro che in $d''$ non ci sia una virgola al posto del segno più?

Cordialmente, Alex

[Bad90]

Sei sicuro che in $d''$ non ci sia una virgola al posto del segno più?

Hai ragione, sei stato veramente bravo a renderti conto dell'errore di battitura che ho commesso....
Ecco con la correzione:

Ho il seguente esercizio 2.4.

Per $x=(x_1, x_2); y=(x_1,y_2) in R^2$, poniamo:

$d'(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2-y_2|$
$d''(x,y) = max {|x_1 - y_1|, |x_2-y_2|}$

Verificare che $d'$ e $d''$ sono metriche in $R^2$. Rappresentare graficamente in un riferimento cartesiano il cerchio $0=(0,0) $ e raggio$1$, relativo ai tre spazi metrici $(R^2,d_2) $, $(R^2,d') $, $(R^2,d'') $, ( ove$ d_2$ e' la metrica euclidea).

Scusami, ma per quanto mi dici in questo:

Per verificare se sono metriche non devi fare altro che applicare le condizioni già dette alle formule in questione.

Non sto riuscendo a capire quale condizioni intendi???

Per "cerchio" penso intendi l'intorno circolare e quindi devi disegnare tali intorni con centro nell'origine e raggio $1$; ovviamente i tre disegni sono diversi

Che sono diversi è vero, ma credimi, non sto riuscendo a capire sulla base di cosa e come dovrei ragionare???

IO ho compreso il concetto di metrica, ma non riesco a capire cosa centrano queste figura da disegnare????????

[axpgn]

Per "condizioni" intendo quelle a cui deve sottostare una funzione per essere chiamata "metrica" (o "distanza")
Per esempio bisogna verificare che $d'(x,y)>=0$ per ogni $x$ e $y$ appartenenti a $RR^2$.
Ora, dato che è $d'(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$ allora $d'(x,y)$ è sempre non negativa in quanto somma di valori assoluti.
Poi va verificato che $d'(x,y)=0$ solo se $x=y$; dato che $x=y$ se e solo se $x_1=y_1$ e $x_2=y_2$, sostituendo nella definizione della $d'$ abbiamo che quando $x=y$ si ha $d'(x,y)=|x_1-x_1|+|x_2-x_2|=|0|+|0|=0$ mentre quando è $x!=y$ significa che è almeno una delle due situazioni seguenti: $x_1!=y_1$ o $x_2!=y_2$ (o tutte e due); ciò significa che almeno uno dei due valori assoluti è diverso da zero e quindi $d'(x,y)>0$. C.V.D.
Adesso prova tu con le altre due condizioni ... e poi con l'altra metrica ... e poi per i disegni vedremo ...

Cordialmente, Alex