Un iperpiano è trascurabile

[Rigel]

@DajeForte: quella è, nella sostanza, la prima dimostrazione proposta.
Plepp però dice che, mentre può calcolare la misura di un rettangolo con i lati paralleli agli assi, non può farlo se il rettangolo è ruotato, dal momento che ancora non ha dimostrato l'invarianza per rotazione della misura.
Da qui la dimostrazione col ricoprimento fatto di pallette

@Plepp: nella \(c\) del mio messaggio manca un fattore \(\sqrt{n}\); comunque il valore di \(c\) non è importante, dal momento che è sufficiente che non dipenda da \(k\).

[DajeForte]

Sostanzialmente?? Quella mi padre proprio la stessa! Ouch
Comunque si risolve tutto usando una successione di "scale", ma sono sicuro questa sara stata la tua idea ( dopo gli do una letta).

[Rigel]

Sostanzialmente?? Quella mi padre proprio la stessa! Ouch
Comunque si risolve tutto usando una successione di "scale", ma sono sicuro questa sara stata la tua idea ( dopo gli do una letta).

Anziché usare scale, ho usato pallette (almeno così l'invarianza per roto-traslazioni è salva ).

[DajeForte]

Ma stai dicendo che anche le scale non sono ammesse?
Comunque voglio trovare una dimostrazione che usa l'assurdo. La avevo trovata ma usa il fatto che segmenti paralleli hanno stessa misura. Si può?

Ponderano

[Rigel]

Ma stai dicendo che anche le scale non sono ammesse?

Le scale dovrebbero essere ammesse.

Comunque voglio trovare una dimostrazione che usa l'assurdo. La avevo trovata ma usa il fatto che segmenti paralleli hanno stessa misura. Si può?

Devi chiedere a plepp cosa è ammesso

[Plepp]

Ciao ragazzi!

@DajeForte: grazie anche a te per esserti interessato. In effetti per fare come dici dovrei saper calcolare l'area di rettangoli "storti". Se ho capito ciò che intendi per "scale" (nel caso di un piano nello spazio tridimensionale, si tratta di vere e proprie scale xD) sì, sono ammesse

@Rigel: abbi pazienza Sul fatto che non conti chi sia $c$ (purché sia indipendente da $k$) siamo d'accordo. Cerco di spiegarmi meglio. Per come hai definito i punti $y_j$ della griglia, si ha (facciamo $n=2$)
\[|y_i-y_j|\ge \epsilon_k\qquad \forall i,j =1,...,N_k\]
Giusto? Quindi, se $x_j=(y_j,ay_j)$, dev'essere
\[\|x_i-x_j\|=\sqrt{(y_i-y_j)^2+(ay_i-ay_j)^2}\ge \epsilon_k\sqrt{1+a^2}=c\epsilon_k\]
Mentre tu dici

Inoltre, due punti \( \mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k \) adiacenti sull'iperpiano avranno distanza non superiore a \( c\epsilon_k \)

[Rigel]

In dimensione 2 la distanza fra due punti adiacenti è esattamente \(c \epsilon_k\), se i punti della griglia stanno a distanza \(\epsilon_k\). Peraltro, non capisco come mai scrivi \(|y_i - y_j| \geq \epsilon_k\); per punti adiacenti vale l'uguaglianza.
In dimensione maggiore, la distanza fra due punti adiacenti (dunque con \(n-1\) coordinate uguali) è invece \(\leq c\epsilon_k\), perché dipende dalla direzione in cui ti muovi.
Se vuoi tener conto anche di punti adiacenti in diagonale, serve il fattore aggiuntivo \(\sqrt{n}\).

[Plepp]

Lì $y_i$, $y_j$ erano due punti qualsiasi della griglia, perciò ho scritto così.

Come immaginavo, non avevo capito. Ora ci sono!

Grazie davvero per la pazienza Rigel buona serata!