Studio di funzione con valore assoluto sotto radice quadrata

[vict85]

La condizione \(\displaystyle \mathrm{sgn}(x^2-3x) > 0 \) equivale a \(\displaystyle x < 0 \vee x > 3 \).

Condideriamo quindi \(\displaystyle x< 0 \vee x> 3 \). Allora \(\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{(2x -3)}{2\sqrt{x^2 - 3 x }}-1 = \frac{(2x -3) - \sqrt{4x^2 - 12 x}}{2\sqrt{x^2 - 3 x}} \) e vogliamo vedere quando \(\displaystyle \frac{df}{dx} >0 \) in \(\displaystyle x< 0 \vee x>3 \).

Il denominatore è per ipotesi sempre maggiore di \(\displaystyle 0 \) (nel dominio considerato ora). Per quanto riguarda il denominatore vediamo di cercare di semplificare. Utilizziamo il metodo del completamento del quadrato per ricavare \(\displaystyle 4x^2 - 12x = 4x^2 - 12x + 9 - 9 = (2x - 3)^2 - 9 \). Pertanto si ha che \(\displaystyle (2x -3) - \sqrt{4x^2 - 12 x} = (2x -3) - \sqrt{(2x - 3)^2 - 9} > (2x -3) - \rvert 2x - 3\rvert = \begin{cases} 0 &\text{ per } x > 3 \\ 4x-6 &\text{ per } x < 0 \end{cases}\) (ricordo che siamo in \(\displaystyle x< 0 \vee x>3 \) ). Questo dimostra che per \(\displaystyle x>3 \) la derivata è positiva.

Per il caso \(\displaystyle x <0 \), si ha che \(\displaystyle 2x -3 < 0 \) pertanto in questo dominio si ha \(\displaystyle (2x -3) - \sqrt{4x^2 - 12 x} < 2x -3 < 0 \).

In altre parole la derivata è positiva per \(\displaystyle x>3 \) e negativa per \(\displaystyle x<1 \). L'intervallo \(\displaystyle 0<x<3 \) penso si possa risolvere in maniera simile.

[dc_gem]

scusami ma mi sono perso... edit: ah ok ho che hai modificato ci sono...

riferito al messaggio subito successivo al mio...ora vado un attimo a mettere una cosa nello stomaco e poi leggo l'altra tua risposta

[vict85]

Nulla di complesso. Ho solo osservato che, per ogni \( \displaystyle x < 0 \vee x > 3 \):
\[ (2x-3)-\lvert 3x-3 \rvert < (2x-3) - \sqrt{4x^2 - 12x} < 2x-3 \]
e quindi ho fatto notare che la prima funzione era \(\displaystyle 0 \) per le \(\displaystyle x > 3 \) mentre la terza era minore di \(\displaystyle 0 \) per \(\displaystyle x<0 \).

[dc_gem]

Non ho capito\( \displaystyle (2x -3) - \sqrt{4x^2 - 12 x} = (2x -3) - \sqrt{(2x - 3)^2 - 9} > (2x -3) - \rvert 2x - 3\rvert = \begin{cases} 0 &\text{ per } x > 3 \\ 4x-6 &\text{ per } x < 0 \end{cases} \)

non ho capito come fai a dire che $(2x-3)- sqrt((2x-3)^2-9) > (2x-3)- |2x-3|$ e poi quindi quello che viene dopo...

il -9 dove va???

io avevo fatto così...

$-sqrt(4x^2-12x) > 3 - 2x$

quindi cambio segno e inverto la disequazione e poi elevo al quadrato entrambi i membri...continuando mi rimane solo il $9>0$...

chiaro che non si può fare allora? è sbagliato procedere così?

[vict85]

Siccome \(\displaystyle 4x^2-12x \) è positivo nelle \(\displaystyle x \) che stiamo considerando allora \( \displaystyle \sqrt{(2x - 3)^2 - 9} < \sqrt{(2x - 3)^2} \). Moltiplicando per \(\displaystyle -1 \) e sommando per \(\displaystyle 2x-3 \) da entrambi i lati ricaviamo \( \displaystyle (2x-3) -\sqrt{(2x - 3)^2 - 9} > (2x-3)-\sqrt{(2x - 3)^2} \). Ho concluso ponendo \(\displaystyle \sqrt{(2x - 3)^2} = \lvert 2x-3 \rvert \) (nota il valore assoluto¹!).

Il tuo invece è sbagliato perché dovevi mettere il valore assoluto. Per esempio per \(\displaystyle x = -1 \) hai che \(\displaystyle -\sqrt{4+12} = -4 < 5 = 3 + 2 \).

---

Note

1. La radice quadrata di un quadrato è sempre positivo mentre \(\displaystyle 2x-3 \) non lo è. ↑

[dc_gem]

ok ti ringrazio per le spiegazioni ma ancora qualcosa non mi è chiaro...senza contare che poi non ci arriverei mai a ragionare come hai fatto tu...

comunque non capisco perchè per x<0 esce 4x + 6 e non 4x
inoltre perchè dici che per x>3 la derivata è positiva se ne risulta sempre 0?

nè perchè poi concludi che la derivata è negativa per x<1

infine se io facessi:

$-sqrt(4x^2-12x) > 3 -2x$

che diventa

$sqrt(4x^2-12x) < -3 + 2x$

che diventa

$|4x^2-12x| < 9 + 4x^2 -12x$

devo quindi studiare il valore assoluto, ma per $4x^2 -12x>0$ non ho come risultato $9>0$

e per $4x^2 - 12x <0$ non ho come risultato $8x^2 -24x +9 > 0?$

[vict85]

Per \(x<0\), \(2x-3<0\). Quindi \(-\langle 2x-3\rangle = -(3-2x) = 2x-3\).

Per \(x>3\) la derivata non è sempre \(0\), è sempre strettamente maggiore di \(0\). Insomma io ho \(f'(x)\) e ho trovato \(g(x)\) tale che \(f'(x) > g(x)\) per ogni \(x\) nell'insieme considerato. Siccome per \(x>3\), \(g(x) = 0\) allora \(f'(x) > 0\) in quell'intervallo/semiretta. Il valore di g(x) per \(x<0\) non è importante perché essendo strettamente minore di 0 non mi permette di determinare la positività della funzione in questione.

Riguardo al tuo metodo il tuo problema è che il quadrato non mantiene l'ordine a meno di avere a che fare con valori positivi. Nel caso siano entrambi negativi il quadrato inverte l'ordine. Se sono di segno diverso non puoi applicare il quadrato. Pertanto dovresti studiare il segno dei membri prima di fare il quadrato e quindi dividere nei vari casi (se i due membri sono di segno opposto la disequazione è ovvia anche senza usare il quadrato).

Il mio principio è piuttosto semplice. Il fatto è che la relazione \(\ge\) è transitiva, ovvero un modo per dimostrare che \(\displaystyle a\ge b \) è trovare un \(\displaystyle c \) tale che \(\displaystyle a\ge c \) e \(\displaystyle c\ge b \). O usarlo ricorsivamente. Il modo in cui trovi \(\displaystyle c \) non è importante, in questo caso potevi usare più strade. Non è sempre una strada fattibile ma alle volte ti viene l'idea giusta e riesci a semplificare i calcoli.

[dc_gem]

Ti ringrazio...e credo di aver capito il tuo metodo. Un'altra cosa è però saperlo utilizzare se ti capita davanti una cosa simile e io non credo di riuscirci, quindi sono in paranoia adesso. L'unico modo a cui potrei arrivare è sostituire un valore e in f'1 per x<0 e un valore per x>3 e vedo quando la derivata è negativa o positiva.

Comunque, sulla soluzione del prof abbiamo in effetti gli intervalli che sono usciti a te:

$ f′ 1(x) < 0$ per ogni $x < 0$ e $f′ 1(x) > 0$ per ogni $x > 3$, pertanto $f1$ `e decrescente in $(−∞,0]$ ed `e crescente in $[3,+∞[$

[vict85]

Ma il tuo metodo andava bene, solo che sei stato disattento.

\begin{align}
2x-3-\sqrt{4x^2-12x} &> 0 \\
2x-3 &> \sqrt{4x^2-12x}
\end{align}
Noto che \(\displaystyle \sqrt{4x^2-12x}>0 \) per ogni \(\displaystyle x \) tale che \(\displaystyle 4x^2-12x>0 \). \(\displaystyle 2x-3 \) è invece negativo per \(\displaystyle x<\frac32 \). Quindi per \(\displaystyle x<0 \) al disuguaglianza non è soddisfatta.
Per \(\displaystyle x>\frac32 \) i due membri sono entrambi positivi e quindi posso elevare al quadrato mantenendo l'ordine.
\begin{align}
(2x-3)^2 &> 4x^2-12x \\
4x^2-12x+9 &> 4x^2-12x \\
9 &> 0
\end{align}
ovvero per ogni \(\displaystyle x > 3 \).

Consideriamo dunque il caso \(\displaystyle 0<x<3 \)
\begin{align}
2x-3-\sqrt{12x - 4x^2} &> 0 \\
2x-3 &> \sqrt{12x-4x^2}
\end{align}
Come prima non è soddisfatta per \(\displaystyle x<\frac32 \) perché \(\displaystyle 2x-3<0 \) e \(\displaystyle \sqrt{12x-4x^2} > 0 \). Per \(\displaystyle x>\frac32 \) posso elevare al quadrato.
\begin{align}
4x^2-12x+9 &> 12x-4x^2 \\
8x^2-24x+9 &> 0 \\
\end{align}
A questo punto devi intersecare la soluzione di quella disequazione con \(\displaystyle \frac32<x<3 \).

Penso che la soluzione finale sia \(\displaystyle f'>0 \) per \(\displaystyle x>\frac34(2+\sqrt{2}) \).

[dc_gem]

Allora...cerco di partire dall'inizio...
abbiamo la funzione $f(x)=sqrt(|x^2-3x|)-x$

è definita sempre positiva. nessuna simmetria.

per $x<=0$ e $x>=3$ (chiamiamolo intervallo iniziale di definizione di f1(x) che era la nostra funzione iniziale presa con il valore assoluto positivo):

$f1(x)=sqrt(x^2-3x)-x$

da qui nello studio del segno di $f1(x)$ abbiamo che $x>=0$, ne deriva che possiamo considerare solo $x=0$. (come da soluzione) E notiamo (sostituendo un valore) che $f1(x)>0$ per $x<0$ e che $f(1)x<0$ per $x>=3$.

Detto ciò passiamo alla derivata di $f1(x)$. Abbiamo che la disequazione della derivata di questa $f1(x)$ ci restituisce un $9>0$ proprio come hai fatto tu...

senza riscrivere la derivata vedo che al numeratore uno dei membri $2x-3$ è positivo quando $x>3/2$ quindi la derivata è negativa per $x<3/2$. Questo, "non rispettando" l'intervallo di definizione di f1(x) in quanto $x<0$, "possiamo non considerarlo" perchè la disequazione non è soddisfatta per quei valori. ho capito?
Quindi poi posso elevare al quadrato entrambi i membri considerandoli però nell'intervallo $x>3/2$ perchè entrambi positivi. Dalla risoluzione della disequazione ottengo $9>0$

io non avevo fatto tutti i ragionamenti precedenti che avrei dovuto fare ma a quel risultato c'ero arrivato...

ora dimmi se sbaglio...perchè poi io a questo punto mi faccio lo "schemino" ponendo i valori sulla retta e mettendo i segni positivi e negativi...

quindi...il numeratore noi lo poniamo sempre positivo...linea continua perchè $9>0$
il denominatore è sempre positivo nell'insieme di definizione ovvero $x<0$ e $x>3$

questo a me restituisce valori positivi in $x<0$ e $x>3$

che se poi metto insieme con l'intervallo di definizione di $f1(x)$ ottengo la positività di $f'1(x)$ in $x<0$ e $x>3$

è per questo che non mi usciva...infatti io a quel punto non devo considerare questo ma ragionare col fatto che la disequazione è positiva per valori di $x>3/2$ che però nel nostro intervallo di definizione la condizione si verifica ("vale") solo per $x>3$ dove poi la $f1'(x)>0$ e $f(x)$ sarà crescente...inevitabilmente in $x<0$, l'altro estremo del nostro intervallo di definizione di partenza della nostra $f1(x)$ la nostra $f'1(x)<0$ e $f(x)$ sarà decrescente...
insomma è come mettere il numeratore sempre positivo (la linea continua) ma per valori di $x>3$...in questo modo anche con lo schema esce...ho capito bene?

Ora ragioniamo sull'altro intervallo di definizione iniziale in cui il valore assoluto nella nostra $f(x)$ iniziale era "negativo", ovvero $0<x<3$ e chiamiamo la funzione risultante $f2(x)$:

$f2(x)=sqrt(-x^2+3x)-x$

da qui nello studio del segno di $f2(x)$ risulta che la disequazione $2x^2-3x<=0$ è verificata per valori interni ovvero $0<x<3/2$ andando a unire questo risultato con l'intervallo di definizione iniziale (facendo il solito schemino) ne risulta che $f2(x)>0$ per $0<x<3/2$ e $f2(x)<0$ per $3/2<x<3$

detto ciò passiamo alla derivata di $f2(x)$

premetto che, al contrario di quello che hai scritto tu, sulla soluzione risulta che $3/4(2+ sqrt2)$ non è accettabile come soluzione mentre invece è accettabile $3/4(2- sqrt2)$

e questo perchè $3/4(2+ sqrt2)=4,16$ che è fuori dall'intervallo di definizione iniziale. o almeno è quello che ho capito io...

detto ciò procediamo con ordine...

non riscrivo la derivata per velocizzare...anche se mi sono dilungato già tanto...ma spero di togliermi tutti i dubbi oggi...

io qui avevo proceduto senza la tua considerazione arrivando a risolvere la disequazione $8x^2 -24x +9>=0$ (l'uguale ci va?)

e ne risultano come risultati $3/4(2+ sqrt2)$ e $3/4(2- sqrt2)$ di cui come detto prima solo il secondo accettabile...quindi $x>3/4(2- sqrt2)$

ora il denominatore era sempre positivo nell'intervallo di definizione che in questo caso è $0<x<3$

ma nello schema che faccio unendo numeratore e denominatore ottengo $x<0$ in $0<x<3/4(2- sqrt2)$ e $x>0$ in $3/4(2- sqrt2)<x<3$

unendo poi questo con l'intervallo di definizione di $f2(x)$ ottengo "la linea continua" per:

$f'2(x) >0$ per $3/4(2- sqrt2)<x<3$ quindi $f(x)$ crescente e ne deriva che $f'2(x)<0$ per $0<x<3/4(2- sqrt2)$ con $f(x)$ decrescente

e invece dovrei ottenere esattamente l'inverso...

ragionando come hai ragionato tu questa volta non mi torna perchè questa volta $x<3/2$ è all'interno dell'intervallo iniziale di $0<x<3$...è sbagliato questo ragionamento?


scusa se mi sto dilungando troppo ma vorrei davvero togliermi sti dubbi...spero di aver scritto tutto bene...

guarda vorrei farti vedere "le soluzioni" del prof...che anzichè spiegarti complicano la comprensione...-.-"