ESEMPIO 4) $intx^2/((x^2-9)sqrt(x^2-9))dx$
PANICO
.....panico del tutto ingiustificato [o quasi]...e vediamo perché...
come già ti ho spiegato nei post precedenti, con radici di questo tipo utilizziamo i teoremi dei triangoli rettangoli per capire quale sostituzione (trigonometrica) sia la più adatta....oppure te le impari a memoria, tanto sono solo 3.
In questo caso sostituiamo $x=3sect$. Al contrario dei casi precedenti qui sì che è opportuno cambiare anche visivamente la variabile, perché l'espressione integranda si compica.....si complica parecchio ma poi si semplificherà tutto....
$x=3sect$ ; $x=3/cost$ ; $dx=3(sent)/(cos^2t)d t$
$int9/(cos^2t(9/cos^2t-9)sqrt(9/cos^2t-9))3(sent)/cos^2tdt=int(27sent)/(cos^2t9(sen^2t)/cos^2t3(sent)/costcos^2t)dt=$
$ =int1/(sen^2tcost)dt=int(sen^2t+cos^2t)/(sen^2tcost)dt=int1/cost dt+intcost/(sen^2t) dt=$
$ =intcost/(1-sen^2t) dt+int1/(sen^2t)dsent=$
$=1/2int1/(1-sent)dsent+1/2int1/(1+sent)dsent+intsen^(-2)tdsent=$
$=1/2log|1+sent|-1/2log|1-sent|-1/(sent)+C=1/2log|(1+sent)/(1-sent)|-1/(sent)+C$
$ x=3 sect $ ; $t=arc sec(x/3) = arc cos(3/x)$
$cosarccos(3/x)=3/x$
$sen^2arc cos(3/x)+9/x^2=1$
$sen(arccos(3/x))=sqrt(1-9/x^2)$= $1/|x|sqrt(x^2-9)$
per cui sostituendo si ottiene:
$ 1/2log|(|x|+sqrt(x^2-9))/(|x|-sqrt(x^2-9))|-|x|/sqrt(x^2-9)+C$
...spero che sia giusta perché non ho voglia di mettermi a farne la derivata