Massimi e minimi locali di $f(x,y)=e^(9(x+y))-2(x+y)$

[gbspeedy]

Devo trovare i massimi e minimi di questa funzione: $f(x,y)=e^(9(x+y))-2(x+y)$.Studiando il gradiente trovo una retta di punti critici $ (t,-t+1/9ln(2/9))$ per $t in R$.
Calcolando le derivate seconde trovo che la matrice Hessiana è semidefinita.Quindi non posso concludere nulla.
Posso sviluppare con Taylor la funzione nell'intorno di quei punti?

[Wilde]

Se noi studiassimo la funzione a una variabile $ f(t)=e^(9(t))-2(t)$ ci può venire utile??

ha qualche collegamento con la nostra funzione a 2 variabili?

[scusami ti avevo fatto ragionare su cose poco utili (in particolare pensavo di utilizzare Weierstrass generalizzato ma in questo caso non si può usare chiaramente... non avevo osservato bene l'esercizio]

[gbspeedy]

se restringo la funzione all'asse x : $f(x,0)=e^(9x)-2x->+oo$ per $x->+oo$ mentre se la restringo alla retta $y=-2x$ : $f(x,-2x)=e^(-9x)+2x->-oo$ per $x->-oo$

Quini se ho max e min questi sono locali.

[Wilde]

....leggi sopra

[gbspeedy]

otterrei che per $t>1/9ln(2/9)$ la funzione f(t) cresce mentre per $t<1/9ln(2/9)$ decresce.
Quindi $t=1/9ln(2/9)$ sono punti di minimo per f(t).
Ma allora $y=-x+1/9ln(2/9)$ è una retta di minimi locali per la $f(x,y)$?

[Wilde]

se devo rispondere alla tua domanda, la retta é una retta di minimi

ma ti faccio ancora qualche domanda, perchè ci sono degli errori:
1)sei sicuro che siano minimi locali? e non assoluti? (ricontrolla anche i limiti precedenti)

2)cerca di comprendere che la nostra funzione $ f(x,y)=e^(9(x+y))-2(x+y) $ è costante sulle rette $y=-x+h\quad\quad \forall h in R\quad$. e cosa significa dal punto grafico (fatti un idea)

3)Prova a giustificare perchè se $f(t)$ ha minimo in $ t=1/9ln(2/9) \quad\quad$ allora la nostra funzione ha minimi sella retta $ y=-x+1/9ln(2/9) $.
(suggerimento: In particolare devi mostrare che preso un punto qualsiasi $(x_0,y_0)$ sulla retta $ y=-x+1/9ln(2/9) $ e preso un intorno (disco) di $(x_0,y_0)$ si ha che $f$ calcolata in qualsiasi punto del disco è $>=f((x_0,y_0)$)

Ovviamente fai tutto questo se ne hai voglia....
Io ora esco..ti risponderò stasera

[gbspeedy]

1) ho sbagliato il limite della seconda restrizione: viene anch'esso $+oo$

2) non riesco a vederlo graficamente

3) devo mostrare che $e^(9(x+y))-2(x+y)>=2/9(1-ln(2/9))$ cioè $f(t)>=2/9(1-ln(2/9))$ per $(x,y) \in R^2$?

[Wilde]

Ciao ciao ...
Direi che purtroppo non hai fatto moltissimi progressi... speravo in quacosa di più.
cmq l'esercizio l'hai fatto, va bene così.
spiegarti da dietro un computer mi risulta troppo difficile... e forse non riuscirei ad essere chiaro rischiando di confonderti le idee.
tu continua a riflettere su ogni esercizio che fai e chiedi al tuo prof chiarimenti.(in ogni esercizio ogni passaggio deve essere chiaro e giustificato come si deve)

[gbspeedy]

Per il punto 3): prendo un generico punto dell'intorno $U(x_0,y_0)$ e lo posso scrivere come $(x_0+\epsilon,-x_0-\epsilon+1/9 ln(2/9))$.Calcolo la funzione in questo punto e ottengo $2/9-2/9ln(2/9)$.Questo valore deve essere maggiore di $1/2ln(2/9)$?

[Wilde]

No $ U(x_0,y_0) $ è un disco in $R^2$, quindi un punto generico dell'intorno non è quello da te espresso (non sta mica per forza sulla retta).

Poi

3)Prova a giustificare perchè se $ f(t) $ ha minimo in $ t=1/9ln(2/9) \quad\quad $ allora la nostra funzione ha minimi sulla retta $ y=-x+1/9ln(2/9) $.
(suggerimento: In particolare devi mostrare che preso un punto qualsiasi $ (x_0,y_0) $ sulla retta $ y=-x+1/9ln(2/9) $ e preso un intorno (disco) di $ (x_0,y_0) $ si ha che $ f $ calcolata in qualsiasi punto del disco è $ >=f((x_0,y_0) $)

per mostrare quello che c'è nel suggerimento (cioè poi il punto 3) non è necessario fare nessun calcolo ma semplicemente prendere il piano $R^2$ disegnare la retta dei minimi, prendere un punto $(x_0,y_0)$ su essa, tracciare un cerchio con centro il punto e ragionare perchè $f$ calcolata nei punti che stanno li dentro (al cerchio) sono $>=$ a $f(x_0,y_0)$.
per capire perchè questo avviene bisogna però avere un idea di come si comporta la nostra funzione $f(x,y)$ e in particolare

2)cerca di comprendere che la nostra funzione $ f(x,y)=e^(9(x+y))-2(x+y) $ è costante sulle rette $ y=-x+h\quad\quad \forall h in R\quad $. e cosa significa dal punto grafico (fatti un idea)

Forse è troppo difficile.. non starti a picchiare più di tanto.
Se invece vuoi provare ..io continuo ad ascoltarti