Propongo la mia soluzione, dove tra l'altro spiego l'idea di usare la forma normale di Jordan.
**Soluzione proposta**: Sia
\[\tag{1} \ddot{x}+A x= 0 .\]
Qui \(A\) è una matrice reale o complessa \(n\times n\).
1) Se \(A\) è diagonalizzabile allora le soluzioni di \((1)\) sono tutte limitate e periodiche se e solo se tutti gli autovalori di \(A\) sono reali strettamente positivi.
2) Se \(A\) non è diagonalizzabile allora esiste sempre almeno una soluzione di \((1)\) non limitata e non periodica.
*Dimostrazione*. 1) Se \(A\) è diagonalizzabile si può effettuare un cambio di variabile lineare
\[\tag{2}
x=Uy\]
in modo tale che \((1)\) sia equivalente al sistema di equazioni indipendenti
\[
\ddot{y}_j +\lambda_jy_j = 0,\quad j=1\ldots n.\]
Se \(\lambda_j\ne 0\) allora la soluzione generale di ciascuna di queste equazioni è
\[\tag{3}
y_j=A_j \cos(\sqrt{\lambda_j} t) + B_j \sin(\sqrt{\lambda_j}t), \]
dove \(\sqrt{\lambda_j}\) è una qualsiasi delle due radici quadrate complesse di \(\lambda_j\). Solo se \(\lambda_j> 0\) questa funzione è limitata e periodica per qualsiasi scelta delle costanti arbitrarie \(A_j, B_j\).
Se \(\lambda_j=0\) allora \(y_j(t)=C_j t\) è una soluzione non limitata e non periodica.
2) Se \(A\) non è diagonalizzabile allora la sua
forma normale di Jordan ammette almeno un blocco non banale. Il cambio di variabile (2) produce quindi un sistema contenente le due equazioni
\[\tag{4}
\begin{cases}
\ddot{y}_j + \lambda_j y_j + y_{j+1}= 0 \\
\ddot{y}_{j+1}+\lambda_j y_{j+1} = 0.
\end{cases}
\]
Senza perdita di generalità scriviamo \(j=1\) e \(\lambda\) invece di \(\lambda_j\). Il sistema (4) ammette sempre almeno una soluzione non limitata e non periodica; di conseguenza, anche (1) ammette almeno una soluzione con le stesse proprietà. Questo è evidente se \(\lambda \in \mathbb C\setminus (0, \infty)\), perché in tal caso basta considerare nella (4) una soluzione \(y_2\) della seconda equazione non limitata e non periodica. Se invece \(\lambda > 0\), la seconda equazione ammette la soluzione
\[
y_2(t)=2i\sqrt{\lambda}e^{i\sqrt{\lambda} t}.\]
Inserendo questa soluzione nella prima equazione si ottiene
\[\tag{5}
\ddot{y}_1(t)+\lambda y_1(t) + 2i\sqrt{\lambda}e^{i\sqrt{\lambda} t}=0
\]
che ha la soluzione non limitata e non periodica \(y_1(t)=t e^{i\sqrt{\lambda}t}\).
\[
\Box\]
**Commenti**
Il caso interessante è quello non diagonalizzabile, in cui a meno di una trasformazione lineare c'è sempre almeno una coppia legata dalla (4), in cui il secondo oscillatore è libero e fa da termine forzante per il primo. Siccome i due oscillatori hanno la stessa frequenza \(\lambda\), il primo entra in risonanza e produce oscillazioni non limitate.
In una prima versione di questo post ho usato una formula esplicita per \(y_1\), poi mi sono accorto che non era necessaria, ma siccome l'ho già scritta la riporto qui casomai dovesse essere utile per referenza:
\[\tag{6}
y_1(t)=\int_0^t \frac{\sin( \sqrt{-\lambda} (t-\tau))}{\sqrt{-\lambda} } y_2(\tau)\, d\tau + C cos(\sqrt{\lambda} t) + D \sin(\sqrt{\lambda}t).
\]
Questa formula si può ottenere con uno qualsiasi dei metodi per equazioni differenziali ordinarie e lineari: metodo delle costanti arbitrarie, trasformata di Laplace ...
