bastian.0 ha scritto:Non riesco a ritrovarmi con l'angolo .. Grazie
Io per semplicità ho spezzato l'insieme di integrazione in due insiemi e ho sommato gli integrali sui due insiemi.
Il primo insieme è il quarto di circonferenza centrata nell'origine di raggio $2$ nel quarto quadrante, ossia $D_1 := \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \leq 0}$
Il secondo è l'intersezione tra il quarto di circonferenza centrata nell'origine di raggio $2$ e la parabola nel primo quadrante data da
$D_2 := \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x^2+y^2 \leq 4, 3y \leq x^2, x \geq 0, y \geq 0}$
Perciò l'integrale diventa
$$\iint_D xy \text{d}x \text{d}y=\iint_{D_1} xy \text{d}x \text{d}y+\iint_{D_2} xy \text{d}x \text{d}y$$
L'integrale su $D_1$ si risolve facilmente in coordinate polari e non penso tu abbia problemi a farlo.
Per l'integrale su $D_2$ hai varie limitazioni sull'angolo $\theta$, ovvero: $x \geq 0$ si trasforma in $\rho cos \theta \geq 0$, quindi deve essere $\cos \theta \geq 0$.
$y \geq 0$ si trasforma in $\rho \sin \theta \geq 0$ e perciò deve essere $\sin \theta \geq 0$.
Inoltre $3y \leq x^2$ si trasforma in $3 \rho \sin \theta \leq \rho^2 \cos^2 \theta$, puoi semplificare $\rho$ in quanto è non negativo e dunque rimane invariato l'ordine; arrivi quindi a $3 \cos \theta \leq \rho \cos^2 \theta$ e dunque hai $3\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \leq \rho$.
$x^2 +y^2 \leq 4$ si trasforma in $\rho^2 \leq 4$; perciò facendo i conti hai queste limitazioni su $\rho$
$$\ 3\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \leq \rho \leq 2$$.
Come vedi però c'è una limitazione ulteriore su $\theta$: infatti da $3\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \leq \rho \leq 2$ deve anche risultare $3\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \leq 2$.
Risolvi $3\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \leq 2$, intersecala con $\cos \theta \geq 0$ e $\sin \theta \geq 0$ e troverai l'intervallo in cui varia $\theta$.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.