volevo provare a riproporre un dubbio che è rimasto inevaso in un'altra discussione, un po' perché si era sviluppato come costola di un altro argomento a matrioska e quindi nessuno è più passato ( https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=234629 ) a provare a rispondermi però siccome sono tanto curioso di capire se mi sono risposto in modo corretto riprovo qua.
Vorrei partire da questo ragionamento
Vogliamo mostrare che, posto $rho=sqrt(x^2 + y^2 + z^2) = |vec(r)|$, risulta $(partial)/(\partial x) [1/rho] = - x/rho^3$ .
Posto:
$g(rho) := 1/rho$,
per derivazione della funzione composta abbiamo:
$(partial)/(\partial x) [g(rho)] = ("d" g)/("d"rho) * (partial rho)/(\partial x) = -1/rho^2 * (2x)/(2rho) = - x/rho^3$.
In generale, vale:
$nabla g(rho) = ("d" g)/("d" rho) * nabla rho = (g^'(rho))/rho * vec(r)$
con $nabla = nabla_(vec(r)) = ((partial )/(partial x), (partial )/(partial y), (partial )/(partial z))$ gradiente fatto rispetto alle tre coordinate "spaziali".
Alcuni testi dicono che si può calcolare quel gradiente sfruttando la derivazione composta: $d/(dx)|g(x)|=(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ (questo perché la funzione di x,y,z viene derivata solo rispetto a x -interessa il gradiente in una sola direzione- e quindi è una |g(x)|), ma di fatto io non ci vedevo valori assoluti.
Ecco qui sorgeva il mio dubbio:
Ponendo $rho$ come fatto nel quote mi è chiaro che $rho=|vecr|$ modulo in senso vettoriale.
Quello che mi manda in pappa è che $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ è la derivazione di una funzione composta, ma composta con un modulo in senso "numeri reali" (aka valore assoluto, dato che siamo in funzione di una variabile). Ed è qui che mi incasino perché la derivata di un valore assoluto è un conto e sappiamo bene essere $(g(x))/(|g(x)|)=(|g(x)|)/(g(x))$ che dir si voglia, mentre la derivazione che svolgo su rho rispetto ad x è una semplice derivazione di "radice" (rho a conti fatti è una radice, ossia il modulo di un vettore!).
Insomma, non riesco a vedere perché $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ funzioni.
In tutto ciò ragionandoci mi sono risposto così:
Potrebbe andare bene come risposta ai miei dubbi?La mia idea si basa sul fatto che $sqrt(x^2)=|x|$ (il ragionamento è simile con x^2+y^2 ma tanto sono costanti e non faccio danno a toglierle sul ragionamento che segue). E in effetti dietro quella radice in tal modo si maschera la derivata della funzione composta "modulo" che tanto mi turbava:
$(d(sqrt(x^2)))/(dx)=1/2*(x^2)^(-1/2)*2x=x/sqrt(x^2)=x/|x|$, in effetti quella radice che è il "modulo di un vettore" poi si trasforma per il caso di "una variabile" in un x^2 sotto radice che è un "modulo nel senso di valore assoluto in R" (la cosa che mi turbava). Quindi è vero, alla fine basta fare una derivata composta di quello che è un valore assoluto per queste ragioni esposte.