Di soluzioni, se ce ne sono, ce n'è una sola per ovvi motivi.
Una soluzione si trova "a occhio": è $y(x) = x$.
Quindi...
Ad ogni buon conto, visto che credo tu sia qui per indicazioni di carattere un po' generale, rifletti su questo.
La EDO è "brutta", perché è molto non lineare e non separa le variabili; anche sfruttando trucchi noti (ad esempio, la formula di sottrazione del coseno) la complessità non si abbassa.
Tuttavia, osserva che si può introdurre un'incognita ausiliaria per semplificare il problema: difatti, ponendo:
$z(x) = x - y(x)$,
di modo che $z^'(x) = 1 - y^'(x)\ =>\ y^'(x) = 1 - z^'(x)$ e $z(0)=0$, il problema di Cauchy diventa:
$\{(1 - z^'(x) = cos z(x)), (z(0) = 0):} \ <=>\ \{(z^'(x) = 1 - cos z(x)), (z(0) = 0):}$
che si risolve con tecniche standard o osservando che la soluzione costante $z(x) = 0$ è l'unica possibile.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)