Ciao mau21,
mau21 ha scritto:[...] risoluzione di equazioni in $\CC $:
in forma trigonometrica/esponenziale si possono trattare le equazioni in cui è presente una condizione sulla parte reale o immaginaria? Se sì in che modo?
Ad esempio:
$ z^2+iIm(z)+2zc $ (zc=z coniugato, scusate ma non ho capito come si scrive...).
Per prima cosa volevo farti notare che quella che hai scritto non è un'equazione, per il semplice motivo che manca l'uguale...
Intuisco che volessi scrivere $z^2 +i\text{Im}(z)+2\bar{z} = 0 $
- Codice:
$z^2 +i\text{Im}(z)+2\bar{z} = 0 $
Ciò premesso, si ha:
$z = x + iy = \text{Re}(z) + i \text{Im}(z) = \rho e^{i \theta} = \rho cos\theta + i \rho sin\theta $
In genere però conviene passare alla forma esponenziale se ci sono dei prodotti, non se ci sono delle somme come nel tuo caso:
$z^2 +i\text{Im}(z)+2\bar{z} = 0 $
Si vede ad occhio che $z = 0 $ è una soluzione. Per trovare le altre $3$ conviene di gran lunga passare alla forma algebrica $ z = x + i y \implies \bar{z} = x - i y$:
$x^2 + 2ixy - y^2 + iy + 2x - 2i y = 0 $
$x^2 - y^2 + 2x = iy - 2ixy $
$x^2 - y^2 + 2x = iy(1 - 2x) $
Dato che il primo membro è reale, perché lo sia anche il secondo non può che essere $y = 0 $ o $x = 1/2 $:
1) per $ y = 0$ si ottiene l'equazione $x^2 + 2x = 0 $ che ha le due soluzioni $x_1 = 0 \implies z_1 = 0 $ e $x_2 = - 2 \implies z_2 = - 2 $ (due soluzioni reali);
2) per $ x = 1/2 $ si ha l'equazione $ 1/4 - y^2 + 1 = 0 \implies y_{3,4} = \pm \sqrt5/2 $ da cui le due soluzioni complesse coniugate $z_3 = (1 + i\sqrt5)/2 $ e $z_4 = (1 - i\sqrt5)/2 $