La tiro fuori dal fatto che \(z^2+r^2 \ge r^2\) perché \(z^2 \ge 0\), ma è anche \(4>z^2+r^2\) e quindi deve essere anche \(4>r^2\). È la stessa situazione che hai riportato tu quando hai scritto \(a(r)<z<b(r)\). Prova a pensarla geometricamente: nel caso di sfere, le coordinate cilindriche proiettate sul piano non sono altro che un cerchio e la proiezione del tuo insieme sul piano è il cerchio di centro l'origine e raggio \(2\) perché, al variare dell'angolo e della quota \(z\), devi descrivere col raggio uscente dall'origine tutti i punti a distanza compresa tra \(0\) e \(2\) dall'origine: per \(0<r<1\) prendi i punti "sopra e sotto la sfera interna esclusa dal dominio di raggio \(1\)" mentre per \(1 \le r < 2\) prendi "tutti gli altri i punti della sfera piena che non stanno "sopra e sotto la sfera cava". Con un disegno sarebbe facile da far vedere, a parole è un po' più difficile da dire per farlo visualizzare. Quindi, come vedi, anche geometricamente è intuitivo che debba essere \(0<r<2\).
Il problema è sempre quello: dici "Su tutto l'insieme di definizione \(0<r<1\)", ma non è vero che l'insieme di definizione è \(0<r<1\) (in questo contesto andrebbe chiamato più propriamente l'intervallo di integrazione della variabile \(r\)). Quella è una condizione che ti permette di estrarre le radici, ma tu parti da una disequazione che non coinvolge radici e che quindi che non impone alcun vincolo sulla non negatività di \(1-r^2\). Perciò, non impone alcuna restrizione a \(0<r<1\) in assoluto (la impone invece se vuoi estrarre radici, ma allora devi separare i casi perché hai anche \(1 \le r < 2\) per quanto detto appena sopra). Se ti vai a rivedere la teoria, una disequazione del tipo \(\sqrt{f(x)}>g(x)\) viene sempre discussa distinguendo i casi \(g(x)<0\) o \(g(x) \ge 0\). Se \(g(x)<0\), allora la disequazione è vera per ogni \(x \in \text{dom}(f) \cap \{x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \ge 0\}\cap \text{dom}(g)\); se \(g(x) \ge 0\), allora si può scrivere \(g(x)=|g(x)|=\sqrt{\left(g(x)\right)^2}\) ed elevare ambo i membri al quadrato, ottenendo una disequazione equivalente perché ambo i membri sono non negativi. Nel tuo caso, hai omesso la parte in cui distingui i casi e hai imposto subito che sia \(g(x) \ge 0\); in particolare, avendo tu qui una disequazione dipendente da più variabili il discorso non è così semplice e va adattato a seconda di come varia \(r\). Ma tu, quando hai scritto \(1-r^2<z^2<4-r^2\), ancora non avevi un intervallo di variazione di \(r\) (nota bene che qui le radici ancora non sono comparse, quindi il discorso sulle condizioni di esistenza non sussiste ancora). Capisci che, in generale, procedendo così stai "perdendo un pezzo" di insieme di integrazione. Credo di non saperlo spiegare diversamente senza ripetermi: ti invito a rifletterci un po' per conto tuo e, se hai bisogno, possiamo anche riparlarne in un secondo momento
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A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.