Esercizio su numeri complessi

[lackyluk]

Buongiorno.

Devo risolvere il problema $sqrt(1+sqrt(-1))$ ed ho due approcci diversi.
Nel primo faccio la classica conversione per cui $sqrt(-1) = i$ e procedo poi con il calcolo arrivando a due soluzioni:
$ root(4)(2)e^(pi/8i)$ e $ root(4)(2)e^((9pi)/8i)$

Mi accorgo però che dovrei avere 4 soluzioni e ne ho due.

Allora, procedo invece utilizzando più propriamente l'identità di Eulero ed ottengo quattro risultati, ovvero i primi due a cui si aggiungono
$ root(4)(2)e^((7pi)/8i)$ e $ root(4)(2)e^((-pi)/8i)$

Ora il dubbio è:
I principali solutori online mi danno come soluzione solo i primi due risultati, ovvero il primo approccio dove mi ricorduco a risolvere $sqrt(1+i)$
Cosa che mi sembra in qualche modo anche ragionevole riflettendo sul fatto che $i^2=-1$ porta a $i = sqrt(-1)$ e non $ +- sqrt(-1) $ così come $sqrt(4) = 2$ e non $+- 2$.
Ma come posso ignorare le altre due soluzioni?

Dove sbaglio?

[pilloeffe]

Ciao lackyluk,

Mi accorgo però che dovrei avere 4 soluzioni e ne ho due.

Per me sono corrette le 4 soluzioni, d'altronde $- 1 = e^{i \pi} = e^{- i pi} $

I principali solutori online mi danno come soluzione solo i primi due risultati

Questo perché la maggior parte dei solutori online considerano solo la radice principale (anche WolframAlpha fa così)

[sellacollesella]

Fissati \(x,y\in\mathbb{R}\) non entrambi nulli e definito il numero complesso: \[
z:=x+\text{i}\,y
\] dopo aver calcolato modulo e argomento di \(z\): \[
\rho:=\left(x^2+y^2\right)^{1/2},\quad\quad
\theta:=\begin{cases}
-\arccos(x/\rho)&\text{se}\;y<0\\
+\arccos(x/\rho)&\text{se}\;y\ge 0\\
\end{cases}
\] le radici complesse \(n\)-esime di \(z\) sono: \[
\boxed{(\sqrt[n]{z}\,)_k=\rho^{1/n}\left(\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+\text{i}\,\sin\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right),\quad k=0,1,\dots,n-1\,}
\]
D'altro canto, una semplice calcolatrice scientifica ti fornirà un'unica radice \(n\)-esima:

• se è settata sui numeri complessi farà riferimento alla radice \(n\)-esima principale: \[
  \sqrt[n]{z}\equiv(\sqrt[n]{z}\,)_0
  \] che è quanto si ottiene di default in Wolfram Mathematica scrivendo:
  
  

  Codice:

  ComplexExpand @ Sqrt[1 + Sqrt[-1]]

  
  mentre per ottenere tutte e quattro le radici complesse occorre scrivere:
  
  

  Codice:

  ComplexExpand @ Solve[(z^2 - 1)^2 == -1]

  
  
• se è settata sui numeri reali farà riferimento alla radice \(n\)-esima surd: \[
  \sqrt[n]{x}\equiv\text{surd}(x,n) :=
  \begin{cases}
  -(-x)^{1/n} & \text{se} \; x < 0 \, \land \, \text{mod}(n,2) = 1 \\
  x^{1/n} & \text{se} \; x \ge 0 \\
  \end{cases}
  \] la quale è evidentemente non definita se \(x\not\in\mathbb{R}\) oppure se \(x<0\,\land\,\text{mod}(n,2)=0\).

Insomma, non è una faccenda così banale come spesso la si dipinge, ci sono molte sfumature!

[lackyluk]

Cioè, in definitiva, è sostanzialmente corretto sia dare solo due soluzioni che darne quattro?

Grazie ad entrambi intanto.

[sellacollesella]

Dipende dal contesto. Se dal nulla mi imponessero di calcolare \(\sqrt{1+\sqrt{-1}}\) senza ulteriori specifiche: \[
z=\sqrt{1+\sqrt{-1}}
\quad\Rightarrow\quad
z^2=1+\sqrt{-1}
\quad\Rightarrow\quad
(z^2-1)^2=-1
\] e calcolerei le quattro radici complesse di tale equazione, evidenziando la radice principale. Se, invece, la consegna è meno stitica, allora ci si può muovere in modo più preciso, senza licenze poetiche. Battute a parte, se le consegne non sono molto chiare, scrivi una email al docente, ti saprà dire cosa si aspetta.

[lackyluk]

Dipende dal contesto.

Che è una riposta affermativa alla mia domanda direi.
E in effetti sì, la cosa inizia ad assumere contorni più "complessi" di quanto inizialmente mi appariva.

Detto questo, il docente mi ha già dato come buono, o meglio non ha contestato, la versione dove procedo riconducendomi a $sqrt(1+i)$.

[pilloeffe]

il docente mi ha già dato come buono, o meglio non ha contestato [...]

Ti consiglierei però di chiederglielo esplicitamente, non accontentandoti di una "mancata contestazione", soprattutto perché

Mi accorgo però che dovrei avere 4 soluzioni e ne ho due.

Così, giusto per essere sicuri ed evitare poi un domani eventuali contestazioni in una prova scritta...
Onestamente anch'io avrei proceduto come ti ha già mostrato sellacollesella determinando le 4 soluzioni.

[Brufus]

Nel primo faccio la classica conversione per cui $\sqrt {-1}=i$

Scusa la mia ingenuità, ma ho sempre creduto che le radici quadrate complesse del numero complesso $z=(-1,0) $ fossero due , evidentemente mi sbagliavo

[axpgn]

Chiaramente la definizione corretta sarebbe $i^2= -1$

[Brufus]

Ma come posso ignorare le altre due soluzioni?

Dove sbaglio?

La prima radice magicamente hai deciso che abbia un solo risultato, mentre per quella più esterna hai deciso che ne abbia due. Hai tirato la monetina? . Il problema è solo psicologico, tu confondi il campo reale col campo complesso. Quando scrivi $z=a+ib$ immediatamente il tuo cervello codifica $z$ come numero complesso e allora applichi a pappardella la formula (corretta) per le radici complesse. Se invece scrivi $-1$ tu lo leggi come numero reale e allora vai a calcolare una radice reale . Quindi una sola soluzione. Ovviamente se usassimo i colori tutto sarebbe diverso. Se indicassimo $\color [red] \mathbb C$ in rosso e $\color [green] \mathbb R$ in verde allora capiresti che $\color [red]{-1}=(\color [green] {-1},\color [green] 0)$
Tu vuoi calcolare$ \color [green] {\sqrt {-1}} $ che non ha senso però addirittura intendi $\color [green] {\sqrt {-1}} =\color [red]i$
Invece io ti propongo $\color [red] {\sqrt {-1}} =\color [red]{ \pm i}$

Per me sono corrette le 4 soluzioni,

Ma per qualcuno invece no? Nel senso la matematica è un 'opinione

Insomma, non è una faccenda così banale come spesso la si dipinge, ci sono molte sfumature!

Quali sfumature?