Classe $C^oo$

[tachiflupec]

Ciao a tutti,
ho una domanda stupida da chiedere a qualcuno perché non ho capito una notazione: quella di $C^oo$ per funzioni tipo $R^n -> R^m$ più che altro solo per essere generico ma anche $R^n -> R$.

Insomma il dubbio:
leggo su internet che la funzione si dice $C^k$ se è derivabile k volte con continuità (cioè ho tutte le k derivate continue).

Tuttavia sto studiando le funzioni $R^n -> R$ e so che derivabilità non implica differenziabilità e nemmeno continuità. D'altra parte continuità non implica derivabilità ma ho che differenziabilità implica il resto (continuità e derivabilità). Con derivabilità intendo derivate direzionali in tutte le direzioni.


Benissimo, ciò detto, il mio prof usa $C^oo$ per intendere le differenziabili ma a me pare sbagliato perché come detto se C infinito vuol dire infinite derivate continue mica è detto sia differenziabile.

Al massimo se ho che la funzione è $C^oo$ in un punto $(x_0,y_0)$ posso dire che è differenziabile in un singolo punto per il teorema del differenziale totale (forse lui riporta questo ragionamento per ogni punto quindi l'intera funzione derivabile e continua in tutti i punti è differenziabile? non mi è chiaro). Però è puntuale, non su tutto il dominio, no?

Tuttavia anche su wikipedia leggevo per curisoita una voce "diffeomerfismo" e dice che è la biiezione per cui ho funzione differenziabile einversa differenziabile. E in altri testi leggo che se è biiezione $C^oo$ cosi come la sua inversa. Il che testimonia che pare differenziabilità sia legato a questa classe c-infinito (differenziabile=$C^oo$).

Insomma sono confuso. Potreste aiutarmi con le domande sopra esposte? grazie mille

[otta96]

Con $C^\infty$ si intende differenziabile infinite volte.

[tachiflupec]

Ti ringrazio per la risposta.
ma non capisco perché allora certe volte leggo $C^k$ come classe delle funzioni derivabili k volte e continue.

C'è un legame tra le due cose? Come dicevo sopra mi pare di no, per i ragionamenti sopra esposti.

[otta96]

Si intende sempre differenziabili quando si parla di $C^k$ o $C^\infty$, se trovi scritto diversamente è sbagliato.

[tachiflupec]

Perfetto, è chiaro.

tuttaiva siccome ormai questa confusione di notazione errata mi ha fatto ragionare sui vari rapporti di cui parlavo nel primo messaggio e mi piacerebbe chiarire dei dubbi formatisi su quelli.


1)

Tuttavia sto studiando le funzioni $R^n -> R$ e so che derivabilità non implica differenziabilità e nemmeno continuità. D'altra parte continuità non implica derivabilità ma ho che differenziabilità implica il resto (continuità e derivabilità). Con derivabilità intendo derivate direzionali in tutte le direzioni.

fin qua mi pare ok. giusto? lo dico per non far confusione dopo.

2) se ho una funzione che è derivabile e continua infinite volte (ma ne basterebbe 1) in un punto es: $(x_0,y_0)$ posso dire che è differenziabile in un singolo punto per il teorema del differenziale totale. Però questo è valido puntualmente, non su tutto il dominio in teoria.
Ora, se vale in ogni punto (la derivabilità e continuità di ogni derivata) posso però far coincidere i due concetti (?) dato che vale questo teorema per ogni punto e di contro quando è differenziabile infinite volte è sicuramente derivabile infinite volte e continua. cioè in sostanza ho $C^oo$ (ossia differenziabile) <=> è derivabile infinite volte e continue.

per non aggiungere troppa roba ti pongo un'altra domanda nei prossimi post. Prima vorrei chiarire questo se hai tempo e voglia . Grazie in ogni caso.

[otta96]

Si è tutto giusto.

[gugo82]

Attenzione ad una cosa, però: ogni parte della Matematica ha il suo gergo.

Ad esempio, in Geometria Differenziale o in Fisica Matematica, si dice differenziabile intendendo quasi sempre $C^oo$ (perché lì si prendono generalmente in considerazione solo funzioni belle lisce, anzi liscissime).
Quindi in questi ambiti la differenza linguistica tra i due concetti non viene fatta per abitudine.

In Analisi Complessa, ogni funzione differenziabile è addirittura analitica (somma di serie di potenze), quindi è per forza $C^oo$.
Quindi in quest'ambito non c'è bisogno di distinguere tra i due concetti perché "sono la stessa cosa".

In Analisi Reale no, la questione è più complessa: il gran lavoro dell'analista è mostrare che le funzioni con cui ha a che fare nei problemi sono lisce e determinare esattamente "quanto" esse sono lisce.
Quindi chi fa Analisi Reale deve avere una "scala di liscezza" molto, molto, molto più fine di quella degli altri ambiti.

[tachiflupec]

otta96: grazie per esserti preso la briga di leggermi

@gugo82: grazie per le info utili. Al momento di analisi complesso so zero (sono ad analisi base) però me ne ricorderò per il futuro dato che sicuramente la incontrerò.

Vorrei porre come anticipavo un'ultima domanda e poi non vi tedio più :

Siccome preso dalla smania di capire sto diamine di $C^oo$ ho letto da milioni di fonti mi sono scontrato con questo concetto, che in realtà non faceva propriamente parte dell'analisi però mi ha incuriosito e quindi volevo porre una domanda a futuro studio:

La mia domanda è la seguente:
dato che il punto 1) richiede $C^oo$ questo vuol dire che è automaticamente continua. Quindi nel punto 3) non è superfluo dire che è un omeomorfismo? (cioè continua)

[gugo82]

No, non lo è.
Esistono funzioni $C^oo$ che non sono omeomorfismi.

[tachiflupec]

Ah giusto, perché stupidamente mi ero fermato alla continuità della funziona. Ma non è detto che una C-inf. abbia anche inversa e continua. Credo sia per questo, giusto?

Mi ero fossilizzato solo su un verso.